摘自：《芜湖中学数学教学网》

课例

街道两旁的道路常常用一些几何图案的砖铺成，什么样的几何图形能密铺地面呢？我们都见过蜂巢，由此会联想到：蜂巢是由正六边形组成的，它没有缝隙，看来正六边形能够密铺。那么到底什么样的几何图形能密铺地面呢？

一、设置情境，搭建展示平台

（课件演示：展现一个蜂巢的实物图，并将这个实物图抽象成一个平面图形。）

T ：观察蜂巢的平面图形，容易发现它是由正六边形构成，它没有缝隙，这就是 ---- 密铺。密铺在现实生活中有些什么应用呢？请思考下列问题：

某广场要求密铺地面，请你根据已有知识，帮助设计一种密铺方案，并将设计的图案展示出来，看谁设计得既快又漂亮，并说一说你是如何设计的？

（课前要求学生准备若干边长相等的正多边形以及全等的三角形、全等的四边形的彩色硬纸片及书写板、透明胶等）

（学生自由选择一种图形兴致勃勃地操作，有的用一种全等的三角形，有的用一种全等的四边形，有的用正三角形，有的用正方形，有的用正五边形，有的用正六边形 …… 并在书写板上粘贴，课堂气氛活跃）

（情境的选材贴近学生生活，能引发认知冲突，具有一定的开放性，一下子将学生推向了活动的最前沿。问题情境激起了学生的好奇心，学生跃跃欲试，互相讨论、动手操作，课堂顿时活跃起来。）

S1 ：（展示设计图案 1 ）我是用全等的三角形铺的。

S2 ：（展示设计图案 2 ）我是用全等的四边形铺的。

S3 ：我用正方形能铺成（如图 3 ），但用正五边形没铺成（如图 4 ）。

（学生积极主动的学习，活跃了课堂气氛，成果的展示使每个学生脸上露出了灿烂的笑容，一种成功感油然而生，自主探索能力得到较好体现。学生在拼图的过程中，抒发自己对图形美的感悟力和想象力，同学之间互相交流，互相欣赏，陶冶其审美的情境，学中有乐，乐中有学。）

T ：同学们都肯动脑筋，铺出了各种各样的美丽图案，这实际上是属于平面图形的密铺，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，又称做平面图形镶嵌。为什么有的图形能密铺，有的图形又不能密铺呢？究竟有什么规律呢？请同学们看大屏幕上面的动画演示。（学生观察大屏幕展示的图案，思维一下子又活跃起来。）

（这时借用多媒体手段重现同学们的拼图过程，再次给学生充分展示数学美，学生在求知中得到了美的享受，学生的感性认识得到飞跃。）

T ：（以 S1 的设计图案为例）拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？

S4 ：有 6 个角，它们的和正是三角形内角和的 2 倍。

T ：那么用同一种四边形密铺的，每个拼接点处有几个角？与四边形的四个内角又有什么关系？

（学生沉思片刻）

S5 ：有 4 个，它们的和正是四边形的内角和。

T ：正六边形能够密铺的理由是什么呢？

S6 ：（思考后）正六边形的内角和为（ 6 － 2 ） ?180o=720o ， 720o 是 360o 的 2 倍，所以正六边形可以密铺。

T ：正五边形为什么不能密铺？原因是什么？

（学生分四人小组展开讨论，重新试拼，课堂成了一个互动的精彩探究平台。）

S7 ：如图 5 ，正五边形的每一个内角为 108o ，拼接处有一个 36o 角的缝隙，所以正五边形不能密铺。

T ：通过以上操作，对于只限于同一种图形的密铺，能否镶嵌的关键是什么？还有哪些正多边形可以密铺？

S8 ：这种图形的内角的倍数是否是 360o ，正多边形的一个内角的倍数是否是 360o 。

T ：如果有正 n 边形能够密铺，拼接处有 k 个正 n 边形的角，你能找到 k 与 n 的关系吗？

（教学到此，课堂得到深化。问题的设计以学生发展为本，最大限度地满足学生的需要和可能，知识的拓展使学生又一次展开了激烈的讨论，思维火花又一次被点燃。）

S9 ：正 n 边形的每一个内角等于，拼接处有 k 个这样的角，由于这些角的和应为 360o ，因此有，此式可化为。

T ：很好，这是一个伟大的发现。由此可以看出，用一种正多边形密铺是有规律可循的，用一种正多边形密铺只有三种情形，即

（学生相互讨论并伴着争论，学生的思维再次被激活，课堂异常活跃，在实践中发现用一种正多边形密铺的一般规律使学生的认识得到了升华。）

二、强化思维，拓展展示空间

T ：密铺是丰富多彩的，我们能否用几种边长相等的不同边数的正多边形密铺呢？例如用正三角形与正方形，正三角形与正六边形，正方形与正八边形可以密铺吗？请同学们动手个进行实验。

（分小组试验密铺，然后各组代表发言。）

S1 ：用正三角形与正方形可以密铺，它每一顶点处有 3 个正三角形与 2 个正方形（如图 6 ）。

S2 ：用正三角形与正六边形也可以密铺，它每一顶点处有 2 个正三角形与 2 个正六边（如图 7 ）。

S3 ：用正方形与正八边形也可以密铺，它每一顶点处有 1 个正方形与 2 个正八边形（如图 8 ）。

T ：对于正三角形与正方形密铺的个数能用数学表达式分析吗？

S4 ：：设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角、 n 个正方形的角，那么 m?60o+n?90o=360o ，即 2m+3n=12 。

这个方程的正整数解为　

T: 对于正三角形与正六边形，正方形与正八边形，能做类似的分析吗？

（学生活动，同上过程。）

（学生互动的积极性再一次被调动起来，发散思维能力得到有效培养，创新意识得到强化，学生深感探究新知其乐无穷，学无止境。）

T ：本节课，我们探究了平面图形的密铺问题，在实际生活中很有实用价值，你甚至还可以考虑用三种不同的正多边形、用四种不同正多边形做密铺。有兴趣的同学，可以仿照课堂上的方法自己去研究。

反思：

创新，源于 “ 问题 ” ，几何图形的直观形象为学生进行自主探索、创新的活动提供了更有利的条件。本节课的教学，主要运用观察、操作、作图与设计等各种手段，在借助图形直观进行合情推理的过程中，学生能增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发出潜在的创造力，逐步形成创新意识。从课堂实施的结果来看，由于不同的学生常常表现出不同的数学学习倾向，探究活动的过程和结果也不尽相同，教学中应当充分满足多样化的学习需求。

点评：

本堂课以活动为载体，充分体现学生的自主探索、合作交流和动手操作能力。课堂把学习组织成了数学化的实践活动，让学生在课堂上看到了活生生的数学问题，感到数学与自然与生活有密切联系，使学生真正领悟到数学的价值。从设创情境到问题探究，具有趣味性，富有挑战性，是本案例的一大特色。

教师在课堂上仅仅扮演了引导，点评的角色，由教学舞台上的 “ 主演 ” 转变成了教学探索活动的 “ 导游 ” ，教者教的得心应手，学生学的轻松愉快。在教学活动中教者遵循由特殊到一般，从现象到本质的认知规律，引导学生以运动变化的观点揭示了密铺的内在联系，以联系的观点揭示了密铺的本质规律，这正是教学成功之所在。

本案例是数学与艺术紧密而自然的有机结合，数学美始终穿于整个教学活动之中，学生的成功操作实践展示了学生用几何图形进行美术创作的想象力，课堂上学生不仅学到了知识，而且展示了数学美，使学生在体验自己创作的数学美，表达数学美的感受，弘扬数学美的文化价值的同时受到了美学教育。