摘自：《淄川教体信息网》

一、主要内容与知识定位

首先通过具体事例建立不等关系，探索不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。其次具体研究一元一次不等式的解、解集、解的数轴表示；解一元一次不等式以及一元一次不等式的简单应用。再次通过具体事例研究一元一次不等式、一元一次方程、一次函数之间的内在联系。最后安排的是一元一次不等式组的解、解集、用数轴确定解集，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的简单应用的内容。

本章的知识定位与传统教材有些不同，在这套教材中，前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容，现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了，但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同，相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大，并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会建立不等关系及学习一元一次不等式和一元一次不等式组的意义，并且关注学生学习习惯的养成与 “ 数学化 ” 能力等方面的发展，渗透函数、方程、不等式思想。

二、设计思路

本章的 “ 教学目标 ” ：

1 、经历将一些实际问题抽象为不等关系的过程，体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，进一步发展符号感。

2 、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。

3 、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的基本性质。

4 、理解不等式（组）解与解集的含义，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会在数轴上确定解集。初步体会数形结合思想。

5 、根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）。解决简单的实际问题。并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

6 、初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别。

为了完成上述教学目标，本章的设计思路：

本章教材是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数基础上才开始研究简单的不等式关系的。通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的。大量的同类量之间最容易想到的就是它们有大小之分，而且学生通过前面的学习已初步经历了建立方程模型、建立函数关系解决一些实际问题的“数学化”过程，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验，在此基础上，展开不等式的学习，已顺理成章。另外，不等式不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。

根据学生现有的认知基础和认知特点，本章教材的设计主要有下列特点：

a) 丰富的实际背景。为学生探索实际问题中的不等关系提供了生动、有趣、有用的丰富的实际背景。如等周问题、测树围研究树高的问题、分配东西的问题、打折、优惠销售的问题等。这些都为学生提供了独立思考或合作交流的较大的空间，可以进一步发展学生的符号表达及学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

b) 突出知识之间的内在联系。不等式与方程、函数一样都是反映客观事物变化规律及其关系的模型，是数学学习的重要内容之一。函数能够刻画事物之间对应变化的过程，方程刻画的是某个变化过程的一瞬间，而不等式则刻画变化过程中，同类量之间的一个普遍现象。一定条件下，它们可以互相转化。为此教材专设一节《一元一次不等式与一次函数》联系的内容，意在引导学习者初步体会从整体中把握部分的常用的思考方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想，拓宽学生视野。（数形结合：数轴、与三角形 110 页的做一做、与函数图象。）

c) 关注学生学习的发展。如在读一读中设置了线性代数的基础 ---- 不等式表示的平面区域，为学有余力的学生搭建深入思考的平台。

三、章节内容分析

1.1 不等关系

感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，初步从中体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一。经历由具体事例建立不等式模型的过程，进一步发展学生数学化的能力与符号感。

本节中几个值得注意的问题：

１、教材更加重视应用，教材中设置了较多的应用背景的材料，以突出不等式的模型作用。另外本章在第 4 节之前不具体的研究不等式是几次的不等式，都是对更一般的不等式进行研究。

２、教材 P93 不等关系的场景最主要的设置目的是由此问题产生许多的不等式，进而引出不等式的概念，从诸多不等式的建立过程中，体会不等式的作用与意义。通过合情推理获得猜想：，这里对于猜想是否正确并不作研究，而意在为研究不等式的性质打下伏笔。

３、 P94 的做一做的设计意图是想通过学生感兴趣的问题建立不等关系，从中体会不等关系的普遍性，这里建立的不等关系均为一次的，也为研究的重点不等式 ---- 一次不等式打基础。 P94 的议一议意在让学生归纳出不等式的概念。

４、 P95 第 4 题设置的目的主要是让学生体会一个问题中可能涉及较多的量，量与量之间存在着复杂的相依关系，更多的是不等关系，而且为不等式组的学习留有余地。 3 、 4 两题合起来就组成一个不等式组：

1.2 不等式的基本性质

经历不等式基本性质的探索过程。体会不等式与等式的异同，初步体会不等式的意义。掌握不等式的基本性质。

对于不等式的性质 2 、 3 ，特别是性质 3 ，学生可能猜测与理解上都有一定的困难，见于这种情况我们设置了一个做一做，目的是想让学生自己在做的过程中，感受、体验从中的变化规律，从中获得不等式可能有哪些性质，它与等式的性质不尽相同等经验。不等式与等式的性质到底不同在哪里？教师最好让学生用他们的语言说一说，以培养学生的说理意识并从感性认识上升到理性认识。当然这里学生可能说不到位，甚至有些困难，教师要适当的加以点拨；特别是性质 3 对于学生有一定的挑战性，教师可以组织学生进行讨论，最好结合相反数等概念以帮助理解这一性质

本节习题后安排的试一试是想让学有余力的学生在实数范围内比较两个代数式的大小，继续发展优生的符号感，培养学生的分类讨论意识，或者是理解成为对不等式的基本性质 2 ， 3 的延伸。不等式的基本性质 2 ， 3 中都是指对不等式的两端同乘以（或除以）同一个数，而这里是对不等式 “2>1” 的两端同乘以一个代数式 a ，因此需要对 a 进行讨论 … ，这样对不等式的基本性质 2 ， 3 就进行了从乘以 ( 或除以 ) 同一个数推广到可以同乘以 ( 或除以 ) 同一个定号的 ( 指正符号 ) 非零的代数式了。为学生的后继学习打下基础。除此之外，本题在培养学生缜密思维，优化学生思维品质方面都有一定作用。

1.3 不等式的解集

理解不等式的解与解集的意义；了解不等式解集的数轴表示。

本节一开始的问题的设置目的一方面是让学生再次体会建立不等式模型的作用，另一方面主要是通过研究这里所建立的不等式，借助想一想的栏目体会不等式的解的意义，体会与方程的解的异同。在此基础上得到不等式的解及其解集的概念。对于这些概念的处理不必让学生背诵概念，而是给学生一些时间，让他们自己举出一些具体的不等式并说出他们的解（或解集），也可以对于同一个不等式分小组找一找这个不等式的解，然后把大家的成果集中起来对比、验证，最后写出不等式的解集。本节议一议的设置目的就在于此。

对于不等式解集的数轴表示，教师要引导学生回忆实数与数轴上的点之间的对应关系，每一个实数都能够在数轴上表示。因此不等式的解集也可以在数轴上表示。至于怎样表示教师不妨直接给出，这里不必让学生探索。但可以有意识地让学生体会数轴表示不等式解集的优越性。增强学生数形结合的能力。

1.4 一元一次不等式

体会一元一次不等式的形成过程；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；初步感知实际问题对不等式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验；感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。

一元一次不等式设置了 2 课时，第一课时在前边一元一次不等式建立模型的基础上，明确什么是一元一次不等式，教学中要切实让学生通过回顾、观察、思考、归纳出一元一次不等式的概念，并与以前学过的一元一次方程、一元一次函数等概念加以比较，进一步加深对这些概念的理解。

明确了什么是一元一次不等式之后，通过例 1 、 2 正式进入怎样解一元一次不等式的研究，并给出规范的解的过程。在这两个例子的处理过程中，尽可能地让学生思考，让学生说一说每一步变形的理由，增强学生的代数推理能力。对于学生可能出现的解不等式的常见错误，教师不要急于纠正，要让学生充分发表自己的见解。并养成自我检查解题步骤的良好学习习惯，以达到事半功倍的效果。

本单元的第二课时是从 P103 做一做开始的，这个做一做的题目难度比上节课的例 2 略有所增加，也是两个学生易错的问题，处理方法可以与上节课的例题处理类似地进行，教师一不能包办代替，二不能急于纠正学生出现的错误。对于本节的例 3 、 4 ，其设置的目的主要有： (1) 继续体会建立不等式模型解决实际问题的全过程，体会学习不等式的作用； (2) 让学生体会实际问题对解不等式的影响； (3) 继续训练解不等式的技能。

1.5 一元一次不等式与一次函数

通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。

作函数图象的设计意图是想让学生在作的过程中体会随着自变量取值的变化，函数值也随之变化，再通过观察所作函数的图象反过来思考：分别当 y>0 、 y ＝ 0 、 y<0 时， x 的取值的集合是什么？，这个问题本身看上去似乎不难？但对于这种思维方式对于初学的学生来说并不习惯，这里需要用函数观点作指导，还要具体通过解方程：找到函数值为零时 x 的值。然后可以直接写出不等式的解集。 [ 当然这里渗透了两个问题：（ 1 ）一个函数可以确定许多不等式；（ 2 ）函数的变化趋势 ] 。

想一想的设置本意仍然是想让学生用画图象的方法完成以体会函数的变化对解不等式的影响。当然学生可能直接用不等式的性质求解，也可以。

关于做一做，学生的做法可能是多种多样的，教师一方面鼓励学生多角度思考问题，但还要注意引导学生说明自己解决问题的思路与理由，在交流各自想法的同时使学生互相补充，达到对不等式、函数、方程的整体认识，感受三者之间的内在联系。

本单元的第 2 课时主要侧重一元一次不等式的应用，但在处理手法上是先建立函数模型，再建立不等式模型。这样处理基于两点思考：（ 1 ）：函数、方程、不等式是紧密联系的一个整体，而其中函数为主体，这样突出知识之间的内在联系，便于引导学生养成从知识整体出发思考；（ 2 ）同时也为后一节课正式提出一元一次不等式和一次函数的学习做铺垫。

在教学过程中，教师不要急于求成，要引导学生仔细审题，仔细分析量与量之间的关系，沿着 “ 读题 -- 建立模型 -- 求解模型 -- 解释 ” 的思路让学生主动能思考，广泛交流。同时对学有困难的学生适时适当的加以点拨。对于其它解法对的要及时加以鼓励。最好是在处理完例题之后可引导学生反思，让他们说一说解决这些问题的体会，有哪些经验教训可以让大家参考，而不要总是由教师去说：解决此类问题同学们应当注意哪些问题，也不要人为的这堂课的题目归为一个什么类型，避免增加学生的记忆负担。

1.6 一元一次不等式组

经历通过具体问题抽象出不等式组的过程。理解一元一次不等式组及其解的意义初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组解和解集的方法。体会运用不等式组解决简单的实际问题的过程，提高学生的学习热情。

P108 问题场景的设置目的是想从学生熟悉的一个事例出发，自然地引入不等式组的概念，同时体会不等式组与不等式一样也是解决实际问题的一个工具。

对于 P109 页的想一想的（ 2 ）要引导学生自己尝试，让他说一说，按照他的理解，怎样的值才能算是不等式组的一个解。以加深对不等式组的解的意义的理解（也可以类比方程组的解的概念来理解不等式组的解的概念）。

对于例 1 ，教师要鼓励学生去解，但对于解题的规范书写，及利用数轴的技能要求，教师要注意统一要求。同时还要继续关注学生解不等式的技能水平。

P110 做一做是不等式组的第二课时，本问题反映几何与代数的综合，要先让学生自己列不等式组，提供时间让学生交流他们的做法，渗透转化思想。

学习解不等式，用好数轴是关键。在教材中给出的解不等式组的题目，对于每个不等式组的解在数轴上有多种情况（可能无解，可能 … ），教师不宜总结题型，最好等学生学完本单元或本章之后再让学生自我总结体会

从 P113 做一做开始是本单元的最后一课时，本节的主旨是运用不等式组解决一些简单的实际问题。这里的做一做对一般学生来说可能有一定的挑战性，教师可以引导学生先过事理关：题目中说的是怎样的一件事？再过文理关；最后再过算理关。

对于本节的例 4 ，题目中提供的信息较多，教师在教学过程中，要善于引导学生通过列表等形式分析量与量之间的关系，并逐渐养成习惯。

本节课还要继续关注学生解不等式组的准确性，注意检验解的合理性。

关于本章的回顾与思考

本章的回顾与思考的学习，要比传统教材更加注意两点： 1 。重视不等式 ( 组 ) 模型的建立和运用模型解决实际问题的一般能力培养 ;2 。注意加强函数、方程、不等式三者之间的内在联系。

几个具体建议：

１、组织学生以问题串的形式整理本章学习的主要内容，并让学生自己画一个本章知识联络图，体会知识之间的发展脉络与内在联系。

2 、关注学生对知识发生、发展过程的理解、认识，如对解不等式中 “ 移项变号 ” 的理解、运用不等式（组）解决实际问题的一般步骤的认识等，可以让通过举具体例子加以描述。

3 、回顾知识的形成过程中，要引导学生总结，在处理某个问题时，有哪些是学生自己原创的方法。总结哪些方法对自己的思考有较大的启迪，自己印象最深的是什么 ? 自己最困惑的是什么 ? 等等。

4 、要尽可能地调动学生的学习主观能动性，多让他们提出问题，并通过自主探究、合作交流解决问题，达到升华认识的目的。课后还要留适量的开放性的问题，关注学生的学习个性。

5 、对于学生的回答与讨论要关注他们对于不等式意义的理解以及分析问题、解决问题的能力要给予充分关注。

四、本章总的教学建议

数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动和共同发展的过程。教学中，要将学生推到学习的前沿，注重发挥学生的学习主体性和主观能动性。

1 、关注与旧知的联系，提高思维能力。

“ 有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始 ” 。教学过程中，要关注不等式、函数、方程的内在联系。不等关系与相等关系有着辩证的联系，在不等式的注意利用与等式（方程）对比进行教学，这样有利于学生认识不等式，体会知识之间的内在联系，加强学生对知识的整体认识，发展学生的辩证思维。如对不等式的基本性质的研究可以类比等式的基本性质，并比较其异同。

2 、设置丰富的问题情境，体会知识的发生、发展过程。

教学中，要充分发挥教材中的 “ 做一做 ” 、 “ 想一想 ” 、 “ 议一议 ” 等栏目提供的问题情境，组织学生展开学习。在这个过程中，如，要让学生经历探索不等式（组）模型的形成过程，要给学生留有充分地思考与活动时间，使其初步体会学习不等式的价值。通过充分经历观察、实验、归纳、类比、抽象、概括和数学表示，自然过渡到 “ 模型化 ” 的全过程，教师不要急于求成，不要包办代替学生的活动，要适时给以恰当的引导，发展学生分析问题，解决问题的能力，关注学生学习能力的提高。

3 、恰当地把握扎实基础与培养能力的关系

不等式的基本性质、不等式（组）的解法及不等式解集的数轴表示是学生后继学习的重要基础和必备技能，一定量的练习是完全必要的，但切不可停留在简单的模仿训练与机械记忆上，更不必强调解不等式（组）的步骤。要引导学生能够说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，它的解为什么能在数轴上表示，为什么可以通过数轴迅速准确地确定不等式组的解，发展其等价变形能力、说理能力和数形结合能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。在教学过程中，对学生求解不等式（组）的基本训练要自始至终加以关注，而不是一步到位突击进行。如对一些实际问题建立不等式模式之后，同样要关注其求解过程、解的准确性及解释解的合理性，在这个过程中，使学生进一步体会不等式（组）的解与方程（组）的解的异同，体会不等式的意义。

4 、恰当地把握实际背景题目的难度，关注学生多角度的思考。

关于一元一次不等式（组）的应用，最重要的是帮助学生建立不等意识，学习将实际问题数学化。有实际背景的题目要控制在教材例、习题水平，不要人为的加大难度。相应地教师要鼓励学生自主探索与合作交流，多引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等活动。要鼓励解法多样性，如，对某些实际问题学生可能用方程、函数知识处理，只要能够解释其合理性就应当鼓励，不必强求统一。发展学生的思维策略，促进学生一般数学观的建立。

5 、关注学生学习个性，提高学生的学习积极性。

尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。全日制义务教育《数学课程标准》指出： “ 学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要 ” 。

不等式的教学同样要提倡解决问题策略的多样化，发展学生的学习个性，允许出错，鼓励异端。特别是对学有困难的学生，教师要耐心倾听他们的看法，适时引导，增强其学习的兴趣和自信心。对于学有余力的学生，要多提供一些材料，指导他们自学，发展他们的数学才能。例如，对于本章后一个读一读的学习，教师可以提供有关简单线性规划的材料让学有余力的学生阅读，尝试解决一些简单的实际问题，从中体会最优化思想。

五、本章总的评价建议

1 、关注学生学习过程的评价

“ 对学生数学学习过程的评价，包括参与数学活动的程度、自信心、合作、交流的意识，以及独立思考的习惯、数学思考的发展水平等方面 ” （课标第 87 页）。本章的教学要特别关注学生在建立不等式模型的过程中的表现，如，是其独立思考还是合作交流获得的？思考的是否有条理？学生的阅读理解、符号表达、求解不等式（组）等基本能力较以前的学习是否有所发展。及时发现学生的点滴进步，及时鼓励。

2 、恰当评价学生的基本知识和基本技能

落实双基是《课标》的基本要求，对于学生在提出问题、分析问题、解决问题的能力培养方面，要注意循序渐进，螺旋上升，恰当引导，不可要求过高。例如，对于运用不等式（组）解决简单的实际问题，学生不一定就能一次完成好，但只要有闪光的地方（例如，能够借助列表，画相应的函数图象等方法来分析），就要给予鼓励。

3 、恰当评价学生对不等式内容的实质性认识

关注学生对问题的实质性认识与理解，不强求形式化的模仿和机械记忆（如对不等式的 3 条基本性质，不强求学生背过，而要关注学生对它的理解与灵活运用）。要鼓励多角度的思考问题，不强求形式的统一。