摘自：《初中数学教艺网》

第一部分：代数概述

一、新人教版教材章节课时安排

七上： 62课时

第一章：有理数（约 22课时）

第二章：一元一次方程（约 18课时）

第三章：图形认识初步（约 14课时）

第四章：数据的收集与整理（约 8课时）

七下： 61课时

第五章：相交线与平行线（ 15课时）

第六章：平面直角坐标系（ 8课时）

第七章：三角形（ 9课时）

第八章：二元一次方程组（ 10课时）

第九章：不等式与不等式组法。（ 13课时）

第十章：实数（ 6课时）

八上： 62课时

第 11章：一次函数（约15课时）

第 12章：数据的描述（约12课时）

第 13章：全等三角形（约10课时）

第 14章：轴对称（约12课时）

第 15章：整式（约13课时）

八下： 61课时

第 16章：分式（约13课时）

第 17章：反比例函数（约8课时）

第 18章：勾股定理（约8课时）

第 19章：四边形（约17课时）

第 20章：数据的分析（约15课时）

九上： 61课时

第 21章：二次根式（约9课时）

第 22章：一元二次方程（约13课时）

第 23章：旋转（约8课时）

第 24章：圆（约17课时）

第 25章：概率初步（约14课时）

九下： 48课时

第 26章：二次函数（约12课时）

第 27章：相似（约13课时）

第 28章：锐角三角函数（约12课时）

第 29章：投影与视图（约11课时）

数与式： 152课时12章节；42.8%

空间与图形： 154课时13章节；43.4%

概率与统计： 49课时，4章节13.8%

（注：实践与综合应用部分不单独成章节，贯穿在整套教材的始终）。

总课时： 355课时

二、教材的突出特点

这套教材的编写中都采用了“问题情境 --建立模型--解释、应用于拓展”的模式展开，注重让学生经历知识的形成与应用过程，充分注意体现普及性、基础性和发展性，力求突出以下特点：

(一)使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子

1.重视科学，关注文化

重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵。通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动活泼地介绍古今数学的发展，深入浅出地反映数学的作用（工具作用和人文精神），使学生逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高他们的科学文化素养。

2.重视基础，返璞归真

重视中学数学在数学科学和其他科学中的基础作用。突出算术到代数、实验几何到论证几何、常量数学到变量数学、确定性数学到随机性数学等重大转折，强调基础知识和基本方法在实现这些转折中的作用。返璞归真，引导学生认识初等数学的本质，为进一步学习和应用数学打好基础。

3.重视思想，立足发展

重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系以及它与相关学科的联系，注意教科书内容的开放性和多元性，使学生经历实验、探索的过程，体验如何用数学思想方法分析和解决问题，培养学习和应用数学的能力，在他们的心灵中播撒“尊重科学、热爱科学、善于思考、勇于创新”的种子，为学生搭建可持续发展的平台。

(二)突出学生的主体地位，体现学习方式的转变

1.贴近生活，注重过程

内容素材的选取，力求贴近学生的生活实际和社会现实；教科书的组织安排，注重知识的发生发展过程、学生的认知过程和情感体验过程；为数学学习提供丰富、便利的资源和合理、有效的线索。

2.发展思维，引导探索

内容的呈现努力体现数学思维规律，引导学生积极、主动地探索，通过分析和解决问题，使他们经历“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动的基本过程，优化思维品质，提高数学思维能力，培养创新精神。

3.加强实践，促进交流

精心选编现实生活和数学发展中的典型问题，使实际问题在教科书中发挥更大的作用。引导学生提高“用数学分析和解决实际问题”的意识和能力，为加强实践活动、合作学习、相互交流创设更多机会。

(三)改进教科书的呈现形式，加强现代信息技术的运用

1.改进呈现形式，激发学习兴趣

精心设计教科书的呈现形式，改进栏目设置、图文搭配、版面设计等方面，用学生喜闻乐见的形式（例如科普小品等）呈现教材内容，适当设问、留白、引导，加大探索空间，安排具有综合性、探究性、开放性的“数学活动”，激发学生的学习兴趣，增强他们对教科书的亲近感和认同感。

2.重视信息技术，改进学习手段

重视现代信息技术的发展对数学和数学教育产生的深远影响，发挥信息技术的力量，有意识地引入计算机（器）、网络等进行信息处理（包括快速计算、自动制表、智能绘图、人机交互等），设置“信息技术应用”专栏（选学内容），为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。

三、数与式部分在结构体系上的变化

“数与代数”领域中主要仍是最基本的数、式、方程（及不等式）和函数的内容，但是在编排方式上与过去人教版教材有较大变化。

（ 1）在注意知识的纵向逻辑结构的前提下，突出重点，适当精简整合。例如，对代数式作了“先分散，后集中”的处理。在一元一次方程部分，改变了“先集中安排代数式作为预备知识，再安排方程的解法，最后安排应用问题”的传统处理方式，而是以问题为线索，以方程为重点，将列方程、方程的解法及有关代数式的预备知识等在分析解决实际问题的过程中有机地结合。在后面安排了整式、分式和二次根式各章，又对代数式的有关内容进行归纳和提高。

（ 2）螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断深化对它们的认识。例如，改变了“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照一次和二次数量关系，使方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。一方面不断地深化对方程和函数的理解，另一方面强化它们之间的联系，从函数角度提高对方程等内容的认识（如11.3节“用函数观点看方程（组）与不等式”）。

（ 3）联系实际，体现知识的形成和应用过程，突出建立数学模型的思想。在方程、函数等内容均注意尽可能以实际问题为出发点和归宿，在分析和解决实际问题的过程中，引出与建立数学模型，讨论有关概念和方法，然后再运用所得理论进一步探究新的实际问题，提高对数学内容及其应用的理解，从而体现“实践--理论--实践”的认识过程。

第二部分：数与式内容安排

一、各章节内容编排

第一章：有理数

“有理数”的主要内容是有理数的有关概念及其运算。通过本章的学习，要使学生了解有理数产生的必要性、有理数的意义，能够从事有理数运算，体会“数的扩张”的一致性，并能解决一些简单实际问题。

首先，教科书在前面两个学段学习正数的基础上，引入了负数的概念，这不仅是实际的需要 ,也是学习第三学段数学内容的需要；接着引进数轴、相反数、绝对值等关于有理数的一些概念，这样一方面加深对有理数（特别是负数）的认识，另一方面也为学习有理数运算做准备。在此基础上，介绍有理数的加法、减法、乘法、除法和乘方运算的意义、法则和运算律，这是本章的重点。在本章，有理数加法与乘法都是在介绍运算法则，着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律；减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算；利用计算器进行有理数的运算分散安排在相关内容中。

第二章：一元一次方程

主要内容包括：利用一元一次方程分析与解决实际问题，一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法。其中，以方程为工具分析问题、解决问题是重点，实际问题贯穿于全章始终，而对一元一次方程及其相关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。在许多教科书中，整式及其加减运算作为基础知识，通常集中安排在一元一次方程之前。在本书中，是将有关整式的内容分散地融于对方程的讨论之中，不过于强调式的概念，只要它们能自然地为讨论方程这条主线服务即可。

在本章，对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的。教科书首先从一个行程问题的实例入手，让学生从用含 x的式子表示有关数量并进一步表示问题中的等量关系开始，体验方程的特征及从算式到方程的变化；接着从讨论解方程的需要出发，认识等式的性质，从而自然地产生解方程的方法；再接下来，教科书又结合两个实际问题的求解过程分别讨论了“合并（同类项）”和“移项”，在对另两个实际问题的讨论中引出解方程中的“去括号”和“去分母”，进而归纳出解一元一次方程的目标和一般步骤。另外，为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章最后一节安排了“再探实际问题和一元一次方程”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题，设置了若干探究点，提供给学生进行具有一定深度的思考，把全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度，使学生能在更加贴近实际的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力在更高层次上得到提高。

第八章：二元一次方程组

主要内容包括：利用二元一次方程组分析与解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组 .其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是全章重点，同时也是教学中的难点.

使学生经历建立二元一次方程组这种数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程组的特点和作用，掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，是本章的中心任务 .由于含有多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点.

第 8.1节首先从一个篮球联赛中的问题入手，引导学生直接用x和表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个相关的方程.然后，教科书以这两个具体方程为例，让学生体验二元一次方程、二元一次方程组的特征，归纳出二元一次方程组及其解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解.

第 8.2节的标题“消元”点出了这一节的核心.二元一次方程组含有两个未知数，如果消去其中一个未知数，由两个方程得出一个方程，就得到前面已学习过的一元一次方程，由它可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数.这一节首先从讨论解方程组的需要出发，引导学生从解决问题的基本策略的角度认识消元思想.然后，教科书依次讨论了两种通过消元解方程组的常用方法----代入法和加减法，并结合具体问题用框图形式表示了这两种解法的一般过程.

本章最后的 8.3节特别安排了“再探实际问题与二元一次方程组”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题（“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”），提供给学生利用方程组为工具进行具有一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践，把全章所强调的以方程组为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度.为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较（探究1），开放地寻求设计方案（探究2），根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组（探究3）.安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力.

第九章：不等式与不等式组

主要内容包括：一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式（组）分析与解决实际问题 .其中，以不等式（组）为工具分析问题、解决问题是重点，也是教学中的主要难点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；掌握一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能和能力.本章重视数学与实际的关系，注意体现列不等式（组）中蕴涵的建模思想和解不等式（组）中蕴涵的化归思想.

使学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，是本章的中心任务 .由于不等式所解决的是含有不等关系的问题，这与以前较多讨论的等量关系既有联系又有区别，所以学习本章时会遇到如何通过比较新旧知识取得新进展的问题.

第 9.1节中，首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念；然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念.为进一步讨论不等式的解法，教科书接着对不等式的性质进行了讨论，得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式.不等式的性质是解不等式的重要依据，教科书正是从讨论解不等式的需要出发引导学生认识它们的.解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对于不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然地产生.这一节的框架结构与一元一次方程的相应部分类似，教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等.

涉及求未知数取值范围的问题是普遍存在的，而不等式是解决这些问题的有力工具 .第9.2节从一个选择购物商店问题入手，再对列、解一元一次不等式作进一步的讨论.通过引入的问题以及它后面的例题，教科书归纳出一元一次不等式与一元一次方程在解法上的异同及应注意之处.上述讨论与归纳的过程，是结合分析和解决实际问题进行的，建立不等式模型始终是本章的核心内容.

第 9.3节中，结合三角形三条边的大小关系，引进了一元一次不等式组及其解集的概念.在第8章刚学习了二元一次方程组的基础上，讨论不等式组是比较自然的安排.这里公共解集中的“公共”，是指各不等式解集的公共部分（交集）.二元一次方程组的解可以通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴（或在头脑中想象数轴）才能得出.在这个问题上借助直观利用数形结合具有重要作用.在本节的实际问题中，数量间的大小关系更为复杂（有两个以上），通过列不等式组可以进一步培养建立不等式（组）模型的能力.

第 9.4节是“课题学习　利用不等关系分析比赛”.其中，问题1（射击成绩预测）比较简单，问题2（足球比赛）和问题3（篮球比赛）要复杂些.体育比赛是多数学生感兴趣的实际问题，了解问题的实际背景对于利用数学工具进行分析非常重要.考虑到问题的难度等因素，教科书对于这些问题的探究过程作了分步处理、化整为零的设计，希望能构建思考的阶梯，逐步深入地引导学生考虑问题.安排这节的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出不等式这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在实际问题情境中灵活运用所学知识，在更高层次上提高分析问题和解决问题的能力.

第十章：实数

主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算 .本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念.

教科书的第一节是平方根，本节先研究算术平方根，再研究平方根。教科书首先创设一个问题情景，抽象出这个情景中的数学问题，即已知正方形的面积求边长的问题，这是一个典型的求算术平方根的问题，这与学生以前熟悉的已知边长求面积是一个互逆的过程。通过对这类问题的探讨，引出算术平方根，给出算术平方根的概念和它的符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数都是完全平方数 .接下去，教科书设置一个“探究”栏目，要求学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长。这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是 ，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数.另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数. 出现以后，一个很自然的问题，就是要讨论 的大小。教科书采用夹逼的方法，利用不足近似和剩余近似来估计 的大小，通过一步一步的估计，得到越来越精确的 的近似值，进而指出 是一个无限不循环小数的事实，同时指出 ， ， 等也是无限不循环小数等，这就为后面认识无理数打下基础。会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法，并利用计算器进一步说明了 是无限不循环小数这个结论，加深学生对无理数的认识。用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子介绍了用有理数估计无理数的常用方法.到此为止，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容。接下去，教科书设置一个“思考”栏目，展开了对平方根的讨论。在这个“思考”栏目中，要求学生算出平方等于9的数，通过对这个问题的探讨，找到解决问题的方法，利用这种方法进一步求出平方等于1，16，36…的数，由此归纳给出平方根的概念，进而引出开平方运算。开平方运算与平方运算是互逆运算，教科书通过举例分析了这两种运算的互逆过程，并用图示进一步说明。最后，教科书结合具体例子，通过具体计算一些数的平方根，探讨了数的平方根的特征，并通过一个“归纳”栏目，要求学生自己归纳给出“正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根”等这些数的平方根的特征.

教科书第二节是立方根。对于立方根，教科书采用了类似平方根的方法进行讨论 .首先设置一个问题情景，从这个问题情景中抽象出数学问题，就是已知立方体的体积求它边长的问题，这是一个典型的求数的立方根的问题。这样教科书就从这个典型问题引出立方根的概念和开立方运算。接下去，类比着平方运算与开平方运算的互逆关系，探讨了立方运算与开立方运算的互逆关系，并通过一个“探究”栏目，学习求数的立方根的方法。在这个“探究”栏目中，要求学生分别计算一些正数、负数和0的立方根，通过这些计算，一方面让学生学习利用立方与开立方的互逆关系求立方根的方法，另一方面也为下面探讨数的立方根的特征作准备。紧接着这个“探究”栏目，教科书设置了一个“归纳”栏目，由学生归纳给出“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是 0” 等这些数的立方根的特征 .最后，教科书介绍了立方根的符号表示，并利用这种符号表示探讨了立方根的一条性质（ ）。

学习了平方根、立方根以及开方运算后，教科书在第三节安排了实数。本节首先设置一个 “探究”拦目，要求学生将一些有理数转化为小数的形式，分析这些小数的共同特点，通过分析发现有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，然后指出反过来的结论也成立，即任何有限小数和无限循环小数都是有理数，这样教科书就将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来。在此基础上可以指出，像 、 、 等只能化成无限不循环小数的数就是无理数，从而引出无理数的概念。教科书采用这种与有理数对照的方法引出无理数，有利于揭示有理数和无理数的本质区别，也有助于学生理解“有理数和无理数统称实数”这个构造性定义。接下去，教科书根据不同的标准对实数进行分类，揭示实数的内部结构.随着无理数的引入，实数概念的出现，数的范围由有理数扩充到实数，在这个扩充过程中，既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化。教科书通过几方面的例子说明了这种一致性和发展变化。首先，教科书通过探究在数轴上画出表示 和 的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数由有理数扩充到实数后，直线上的点与实数就是一一对应的、平面上的点与有序实数对也是一一对应的；接下去，教科书通过设置思考问题，让学生体会，在有理数范围内成立的一些概念（如绝对值、相反数等）在实数范围内仍然成立；最后，教科书结合具体例子说明，有理数的运算（如加、减、乘、除、乘方运算等），以及运算律、运算性质（如交换律、分配律、结合律等）在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算（如正数和0可以进行开平方运算）等.

与原教科书相比，本章内容在原教科书 “数的开方”一章的基础上，适当增加了有关实数运算的内容（实数的运算在本套书“二次根式”一章继续学习），说明了平面内点与有序实数对一一对应以及在实数范围内的平移变换等；从内容安排上看，改变原教科书先讲平方根，将算术平方根作为平方根一种特例的做法，而是从实际出发，先讲算术平方根，再扩大到平方根，加强了与实际的联系；在教学目标方面，强调所有学生都应会使用计算器进行开方运算，加强对估算的要求等。

第十一章：一次函数

主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质和应用举例，用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。全章共包括三节，其中， 11.1节是全章的基础部分，11.2节是全章的重点内容，11.3节是引申的内容。

函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点。变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，从数量关系和图象两方面动态地分析问题，是本章学习的特点。

第十二章：整式

本章的主要内容是单项式、多项式、整式的有关概念，合并同类项、添括号法则、整式的四则运算、乘法公式以及因式分解。这些知识是以后学习分式、根式运算以及函数等知识的基础。同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。整式是在以前已经学习了有理数运算、列简单的代数式和一次方程及不等式的基础上引进的。

全章共包括五节： 15.1整式的加减分为2个小节，教科书先讲单项式，后讲多项式，再归纳出整式概念。关于单项式，依次讲了单项式的意义，单项式的系数和次数；关于多项式，依次讲了多项式的意义，多项式的项、常数项，多项式的次数。此后，由学生熟悉的实例出发引出同类项，并在对同一个多项式的各项进行比较的基础上给出合并同类项的概念。在引进合并同类项的基础上，介绍了整式的加减法。15.2整式的乘法分为4个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数、整式加减等知识的基础上学习的。其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的前提条件，教科书把它们作为本节的预备知识依次安排在前3个小节中。教学时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第4小节的开始安排了单项式乘法。15.3乘法公式分为2个小节。乘法公式是在学习整式乘法的基础上得到的，在第1小节的开始，教材以“探究”的形式安排了3个题目，这些题目，按照多项式的乘法法则计算并不困难。通过总结三个题目结果的共同点，我们选取上述形式的多项式乘法并直接写出结果，把它们作为公式，即平方差公式，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以直接写出结果。用类似的方式，第2小节引进了乘法的完全平方公式。在引进完全平方公式后，适时引进添括号法则，以满足整式运算的需要。15.4整式的除法分为2个小节。第1小节首先介绍同底数幂的除法性质。第2小节，教科书根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除法的法则。对于多项式除以单项式，教科书是从计算（am＋bm）÷m来导出运算法则的，根据是乘、除法互为逆运算及分配律。法则的基本点是把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式。15.5因式分解包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法分别安排在第1和第2小节。

第十六章：分式

主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。全章共分三节。其中， 16.1节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。16.2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。16.3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。

第十七章：反比例函数

本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。全章共两节。　 17.1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。17.2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。本章主要涉及到如下的4个现实世界中的反比例函数模型：当圆柱体的体积V一定时，圆柱的底面积S是高（深度）d的反比例函数；当工程总量k一定时，做工时间t是做工速度v的反比例函数；在使用杠杆时，如果阻力 和阻力臂 不变，则动力 是动力臂 的反比例函数；电压U一定，输出功率P是电路中电阻R的反比例函数。此外，本章还安排了两个选学内容：17.1节的“信息技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”，17.1节的“阅读与思考”中安排了“生活中的反比例关系”。这两个内容可以开阔学生的视野，拓展知识面。

第二十一章：二次根式

本章内容分为三节，第一节主要学习二次根式的概念和性质，本节既是第 10章相关内容的发展，同时又是后面两节内容的基础，因此本节起承上启下的作用；第二节是二次根式的乘除运算，主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；第三节是二次根式的加减，主要研究二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。

在第 21.1节“二次根式”中，教科书首先给出四个实际问题，这些实际问题的背景是学生比较熟悉的，其中包含的数学关系也是比较简单的，前三个是几何问题，分别是已知直角三角形的两条直角边求斜边的长、已知正方形的面积求边长和已知圆的面积求半径，最后一个实际问题是物理方面的，涉及到的数学关系是 ，要求用h表示t。解决这四个问题需要利用已学的平方根和算术平方根的知识，这四个问题的答案，在结果的表达式上有共同的特点，即都是用算术平方根的形式表示出来的，这样教科书就从实际问题出发，通过分析所得答案的表达式的共同特点引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。接下去，教科书依次探讨了关于二次根式的结论： 是一个非负数、 、 。对于“ 是非负数”，教科书是利用算术平方根的概念得到的；对于 ，教科书则采用由特殊到一般的方法归纳得出的。在研究这个结论时，教科书首先设置“探究”栏目，要求学生利用算术平方根的概念进行几个具体的计算，并对运算过程和运算结果进行进一步的分析，最后归纳给出这条结论；对于结论 ，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。

对于二次根式的运算，教科书首先研究了乘除运算，这是 21.2节“二次根式的乘除”的内容。本节中，除了学习二次根式的乘除运算法则外，还研究了二次根式的化简。对于二次根式的乘除运算，教科书首先研究了二次根式的乘法运算，二次根式的乘法法则是利用由特殊到一般的方法归纳给出的。教科书先设置一个“探究”栏目，在“探究”栏目中包含两个不同层次的探究问题。第一步是让学生通过计算发现规律，第二步是让学生对发现的规律进行验证，因此第一步中的被开方数都是完全平方数，这样有助于学生发现规律，第二步中的被开方数不是完全平方数，要求用计算器进行验算，以确认规律是否正确。这样，学生通过“探究”栏目的活动，就可以发现 与 之间的关系，从而得到二次根式乘法的运算法则，运用运算法则就可以进行二次根式的乘法运算。如果将二次根式的乘法法则反过来看，就可以得到积的算术平方根的性质 ，利用这条性质可以化简二次根式，这样教科书就给出了一种化简二次根式的方法。对于二次根式的除法运算，类似于乘法运算，教科书也采用了由特殊到一般的方法，通过归纳得出二次根式除法的运算法则，继而得到商的算术平方根的性质，利用这条性质也可以化简二次根式，这样教科书又给出一种化简二次根式的方法。本节最后，教科书结合本章例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，这为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。

第 21.3节是“二次根式的加减”，本小节的主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混合运算，本小节的基础是学生已经掌握了把一个二次根式化简成最简二次根式的方法。学习二次根式的运算是研究数学的需要，也是实际的需要。本节开始，教科书结合一个实际问题引出二次根式的加法运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是实际的需要。这个实际问题是要在一块长方形木板上截出两块面积不同的正方形木板，当然解决这个实际问题的方法可能不同，教科书采用的是先求出两个正方形的边长的和，再将这个和与长方形的长进行比较的方法，利用这种方法会遇到求二次根式的和的问题，这样教科书就从实际问题出发引出了二次根式的加法运算的问题。之后，教科书结合这个例子，研究了二次根式加减运算的法则，明确了二次根式的加减首先是化简，在化简之后就是类似于整式的加减运算了。整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式在化简之后也是如此，合并被开方数相同的二次根式（合并同类二次根式）实际上相当于合并同类项，合并的依据是分配律，关于这一点，在第10章“实数”中已经有所涉及，教科书也在边空给出说明。在分别学习了二次根式的加、减、乘、除运算的基础上，就可以研究它们的混合运算了。教科书以例题的方式介绍了二次根式的加、减、乘、除混合运算的例子，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。

第二十二章：一元二次方程

本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。 22.1节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并提出一元二次方程的根不唯一.这些概念是全章后续内容的基础。22.2节讨论一元二次方程的基本解法，其中包括配方法、公式法和因式分解法等，这一节是全章的重点内容之一。本套教科书在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程，一元二次方程是首次出现的一次以上的方程。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是“降次”。22.2节首先通过解比较简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；有了配方法作基础，再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式 ，就得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式的公式法。本节最后讨论因式分解法解一元二次方程，这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别令每个一次因式为0。这几种解法都是依降次的思想，将二次方程转化为一次方程，只是具体的降次手段有所不同。22.3节安排了4个探究内容，结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题和匀变速运动。一元二次方程与许多实际问题都有联系，本节不是按照实际问题的类型分类和选材的，而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型，重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示，这种数学建模思想的体现与前面有关方程各章是一致的，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展，数学模型由一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程。

第二十六章：二次函数

本章首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图象和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法，最后让学生运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。

在第一节中，首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义。然后后讨论了二次函数的图象和性质。

第二节中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。

第三节中，通过最大利润、磁盘存储量、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。关于这三个问题进一步说明如下。探究 1，某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况。一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销量会随之增加。这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况。在本题中，设涨价 元，则可以确定销量随 变化的函数式。由此得到销售额、成本随 变化的函数式。进而得出利润随 变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。有了上述讨论，降价的情况就让学生自己去研究了。最后，让学生综合涨价与降价两种情况，得出本题的答案。探究2，磁盘的存储量与每磁道的存储单元数与磁道数有关。在本题中设磁盘最内磁道的半径为r㎜，则可以确定每磁道的存储单元数、磁道数随r变化的函数式。由此得到磁盘的存储量随r变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。探究3，首先要建立适当的坐标系。在本题中，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。这样便于求出这条抛物线表示的二次函数。当水面下降 1m 时，就可以根据上面的函数表达式求出下降后的水面宽度。这样，学生通过探究并解决上述三个问题，对用二次函数解决实际问题会有更深的体会。

二、各册中数与式部分重要的数学思想方法

1、七上

整册教科书中体现了将实际问题抽象为数学问题，利用数学问题解决实际问题的模型化思想；许多性质、运算律呈现时体现了从特殊对象归纳出一般规律的思想；“有理数”中利用数轴研究有理数的有关概念和性质中体现了数形结合的思想；“一元一次方程”中体现了解方程的化归思想和程序化思想。这些数学思想方法不仅在本册书中，而且在后面其他各册书中也都是带有一般性的常用的数学思想方法。

2、七下

本册书突出体现了数形结合的思想、转化的思想以及类比的方法。

数形结合：由于平面直角坐标系的提前引入，加强了数与形之间的联系，突出了数形结合的思想。例如在第五章“平面直角坐标系”中用坐标的方法刻画平移，这就用代数的方法研究几何问题；在第 8章“二元一次方程组”中，借助于平面直角坐标系，就可以用二元一次方程组的图象求得方程组的近似解，从而用几何的方法研究代数问题；在第9章“不等式与不等式组”中，用数轴表示不等式（组）的解集，体现了数形结合的思想及集合的思想。在第10章“实数”学习直线上的点与实数的一一对应以及平面上的点与有序实数对一一对应等，体现了数形结合的思想和一一对应的思想。

转化：数学中一种基本的也是非常重要的思想方法。对于转化的思想方法，本册书在编写时给予了充分重视，多处体现转化的思想。例如，在学习二元一次方程组的解法时，与原教科书相比，现教科书就特别强调了将二元化为一元的消元（转化）的思想。这不仅体现在以“消元”为节名，更体现在寻找二元一次方程组的解法的过程中。为了强调消元的思想，教科书正文中专门写了一段文字，（见附录的教科书第 104页），说明在解二元一次方程组的过程中，如何将未知转化为已知，将二元转化为一元的消元的思想。另外，教科书还用框图的形式展示了解二元一次方程组的基本过程。这个框图改变了原教科书强调解二元一次方程组的步骤的做法，突出了消元的思想。再比如，在研究两条直线平行的判定时，将“内错角相等两直线平行”“同旁内角互补两直线平行”转化为已经解决的“同位角相等两直线平行”；在研究多边形内角和的问题中，将多边形内角和转化为三角形内角和的问题等。

类比：通过类比获得对数学的认识也是学习数学的一种有效方法。教科书多处体现类比的方法，例如，类比等式的性质得出不等式的性质，类比方程（组）的解法寻找不等式（组）的解法等。“二元一次方程组”与“不等式与不等式组”都是解决实际问题的数学模型，在研究问题的方法和思路上有很多相似的地方，教科书将两章安排在一起，是希望通过类比方程（组）研究问题的方法来研究不等式（组）的问题，使学生的学习形成正迁移。

3、八上

我们生活在变化的世界中，时间推移、人口增长、财富积累，都是变化的例子。函数就是描述这些变化的一种数学工具。通过分析实际问题中的变量关系，就得到了实际问题的一种新的数学模型，并能利用它解决非常广泛的问题。对于函数的内容，本套教科书是分散安排的，本册安排一次函数一章，八年级下册安排反比例函数，九年级下册安排二次函数、锐角三角函数。这样安排可以使学生不断加深对函数思想的理解。在建立和运用函数这种数学模型的过程之中， “变化与对应”的思想是重要的基础，所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：1.世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；2.在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系。函数是数量化地表达变化与对应思想的数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系。变化与对应思想正是一次函数这一章节中蕴涵的基本思想。

在本册 “一次函数”一章，首先让学生探索具体问题中的数量关系和变化规律，了解常量，变量的意义，了解函数的概念和三种表示方法。在此基础上，再来学习一次函数的内容。在“一次函数”一章，专门安排“用函数观点看方程（组）与不等式”一节，分别探讨一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组）之间的关系。由此可以看出本章在全套教科书中承上启下的作用。

其次在教材中，至始至终都贯穿着函数建模思想、数形结合、从特殊到一般的思想方法等等。根据数与式之间的联系，教材通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律。体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性，强调整式乘法与因式分解是相反方向的变形。在编写在整式乘法法则时，注意 “转化”的思想方法。例如，多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，而单项式乘法则“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法。

4、八下

本册书的 5章内容与学生已经学过的内容有着千丝万缕的联系。例如，在“分式”一章中，分式的有关概念、性质和运算法则与分数的相应内容紧密相关，分式方程最后要转化为整式方程才得以解决，在分式方程的编写思路上，同整式方程一样，也强调了分式方程是解决实际问题的数学模型的思想；“反比例函数”是本套教科书继一次函数后的又一章函数的内容，它的编写思路与一次函数有许多相似的地方，都强调了函数中的“变化与对应”的思想，都突出了函数是解决变量间存在单值对应关系的数学模型的思想。其次还有数形结合，转化思想等等。

5、九上

程序化思想例如，对方程解法讨论注重算理

等式的性质 ----简单方程

分配律 ----合并同类项

等式的性质 ----移项

分配律 ----去括号

等式的性质 ----去分母

用框图表示解方程的过程，体现程序化的思想。在“二次根式”一章，主要是了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，并会用它们进行有关实数的简单四则运算。有些内容，像分母有理化 ,在课程标准中是明确不作要求的。这样可以突出二次根式概念和运算的重点。在“一元二次方程”一章，主要是让学生能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学建模；理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程。而一元二次方程根与系数的关系只作为选学内容要求，这样可以突出一元二次方程解法和应用的重点。

6、九下

函数建模、数形结合。

二、教材使用的困惑与建议

①充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程

从具体的实际问题出发，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律，这是本章的一个突出特点。密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，这是编写本章时高度重视的一个中心课题。

以第 15.2节为例，无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方，都是从几个具体的、简单的题目的运算出发，最后归纳出运算性质。然后，再利用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题。而整式的加、减、乘、除法无不是从具体的问题出发，最后归纳出运算法则，再进一步用于解决实际问题。这种从具体到抽象，再由抽象到具体的编排方式，可以循序渐进地向学生呈现教学内容，有助于学生的理解和掌握，符合现阶段学生的认知水平。

②注重知识之间的联系

由于编排体系发生了很大变化，许多内容的学习从七年级到九年级是螺旋上升，逐步加深，因此在学习之中，教师要引导学生注重知识之间的联系，及时总结归纳，形成一个完整的知识框架体系。比如学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。那后面在二次函数一章中专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。

此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、多边形对角线数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如，用关于 y轴对称的点的坐标的关系说明y轴是抛物线 的对称轴。再如，用平移描述函数 与函数 的图象之间的关系。这样处理有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。

③加强强信息技术的应用

用某些计算机画图软件（如《几何画板》），可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数 的图象，拖动图象上的一点P,让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：图象最低点或最高点的坐标，也就是说，当x取这点的横坐标时， 有最小值或最大值；当x小于这点的横坐标时， 随x的增大而减小（增大），当x大于这点的横坐标时， 随x的增大而增大（减小）。利用计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解方程 ，只要用计算机软件画出相应抛物线 ，再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。上述内容安排在本章的选学栏目中，有条件的话，可以让学生加以尝试。