摘自：《慈利县教师进修学校》

一、教材总体思路分析

1．本册书的主要内容有：一元二次方程、反比例函数；《证明（二）》、《证明（三）》、视图与投影；频率与概率。

一元二次方程式刻画现实世界的一个重要数学模型，是第三学段的核心内容之一。通过该内容的学习，让学生进一步领会 “方程”的数学意义。在具体情境中寻求方程的近似解，以及求根公式的导出和对其形成的认知，可以帮助学生认识解方程的思想、方法，同时，也加深对“实数”的再认识，重视对估算意识和能力的培养。这对二次函数的研究也做了必要的铺垫。

反比例函数的建立过程，可以使学生再次体验 “函数”的形成过程----概括原型的本质属性、抽象出函数的表达式，以及讨论图象的性质，进一步加深对函数概念的理解。

《证明（二）》、《证明（三）》的学习，可以使学生在原有基础上加强逻辑推理的训练，了解相关几何结论之间的逻辑关系，进一步感受公理化思想和演绎推理的意义与价值，增强科学理性精神，提高准确表达论证过程的技能。

《视图与投影》内容贴近生活经验，可以使学生在了解有关几何体的不同视图、以及学习投影有关知识的过程中，直接感受到 “数学化”的主要历程，提高把握空间的能力，发展空间观念。

《频率与概率》进一步通过有趣的实例、操作活动考察事件发生的频率与概率的关系，让学生进一步领会随机性中隐含着一定的规律性，切实感受这些不确定现象背后存在的规律性和随机性，加深学生对概率的理解。

2．教材设计与内容组织的考虑

（ 1）“一元二次方程”是在问题解决过程中概括抽象得到的，利用“夹逼”的方法估算问题的近似解，所用方法体现了近似计算的重要思想。这种方法在研究无理数时曾使用过，不难意识到二次方程的讨论是在实数范围内进行的。

一元二次方程的解法从不含一次项的简单方程入手，容易发现方程有解的条件。通过还原以递进的方式引发配方法，进一步得到方程解得一般共识，直观展示了问题解决的基本思路。把因式分解法作为方程的一种特殊解法，重点放在理解方程解的意义和处理一般方程的 “降次思想”。

（ 2）《反比例函数》则通过建模过程抽象出一类重要函数，这个函数迫使学生关注函数的定义域，首次接触图象有间断点的函数。对反比例函数性质的认识是在观察不同情形函数图象的共同特征，经过归纳和理性分析后得到的，经历“数学化”的过程，使学生对数学思考有了直观体验。

（ 3）《证明（二）》、《证明（三）》在熟悉大量几何事实的基础上，帮助学生进一步体验几何证明的基本要求和范式，以提高其准确表达论证过程的技能；同时，还让他们感受探究几何事实的过程对证明思路的启发与影响，使活动经验真正成为发现证明思路的支持系统。教材设置了一些学生未曾思考过的新命题，让学生经历发现、探索、证明的全过程。教材提供大量机会引导学生对命题进行拓展、引申，进一步思考和证明更具一般性的命题和规律，感受到“抽象与推广”是数学的重要特征和思维方式。

（ 4）《投影与视图》用数学的眼光看待世界，调动生活经验对影子现象的观察，发现不同光源对物体影子的影响。将实物抽象为几何体，由点光源、太阳光源抽象出“中心投影”、“平行投影”等数学概念。通过数学化，使知识成为处理生活中和数学中一些问题的工具，通过三维与二维图形的表示与转换发展空间观念，构成进一步学习“几何学”的基础。

（ 5）《频率与概率》在已有知识和活动经验基础上，以涉及两步试验的问题为切入口，继续以实验概率为认识的主线，动态地考察频率随试验次数变化所表现出来的规律性，得到概率的估算值。在此基础上，在等可能性条件下利用树状图或列表法，统计“所有可能出现的种数”及“事件发生情况的种数”，用古典概型计算出概率，进一步感受“频率与概率之间的关系”，以此为基础可以理论地研究相对复杂一些的“两步或两步以上试验发生的概率”，也可以利用频率的稳定性估计一些随机事件发生的概率。而第4节，更是通过试验频率与理论概率之间关系的分析，力图揭示统计推断的一些理论依据，加强统计与概率的联系。

二、教学实施中应注意的几个问题

1．关注对数学知识的理解

（ 1）在学习求解一元二次方程方法（包括求近似解）的过程中，应使学生感受到由简到繁进行思考和处置问题的思路，领会推导过程的原理和依据，不宜只进行程序性运算训练。第2节中的“读一读”表明不排斥对其他思想方法的探索。在处理应用问题时，要留有审题和独立思考的时间，不要急于代替学生对数量关系做出分析。鼓励不同的解题思路，必要时进行交流。

（ 2）研究反比例函数性质时，注意提高学生从图象中获取信息和清晰表达的能力。本章后面的课题学习有一定挑战性，体现了“做数学”的活动。

（ 3）学习几何证明，一是形成证明思路；二是书面表达。前者应充分利用背景经验，体察其中几何证明的基本策略，必要时进行思想策略的交流和评议。“证明”是基于对问题自身和图形的分析，发现不同知识之间的内在逻辑关系，有助于形成知识结构。不是对“解题术”中所罗列的各类方法的检索和匹配。对于后者，证明的表述要严谨、縝密、简洁、规范，要经得起推敲和质问，对此，需要做相应的训练。

学习命题的拓展、引申、推广，意图是养成主动思考的习惯（如，逆命题成立吗？图形变化时结论能保持吗？极端情形呢？变换某些条件后情形怎样？考虑更一般的情形， ……）。突出体现了数学思维方式。

2．教学中要准确定位，提高有效性

（ 1）《证明（二）》与《证明（三）》的差别不仅仅是对象的变化，由研究三角形到平行四边形。四边形中很多问题可以通过作辅助线或三角剖分（类似于拼、摆的活动），通过发现全等三角形获得解决的。要训练识别复杂图形中基本图形（或要素）之间的结构关系（如三角型中位线定理的证明）。《证明（三）》开始时不妨讨论问题：以前的探索已经知道了很多有关平行四边形的命题，其中哪些可以直接进行证明，哪些命题还需要先“补证”相关的定理，做出一个清理。有两种选择：其一是由教师按证明的逻辑顺序排列出来交给学生；另一种是让学生分析思考充分讨论，整理出证明的逻辑顺序，形成对知识体系的一种认识，这是一个知识重组的过程。不妨作为“试一试”由学生自己去完成，利于对公理化方法的解释。

（ 2）《频率与概率》中，有些比较复杂的问题可以计算出理论概率，当超过学生接受能力时（如“生日问题”），可以采用实物进行操作试验或用模拟试验的方法得出概率的估计值。在进行试验前一定要求每位学生明确要解决问题的数学意义，清楚解决方法的思路和原理，甚至允许对试验结果猜测其大致范围，做出预期，增强对活动全过程的关切程度，避免部分学生参与试验的盲目性。试验完成后进行反思和交流。