前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在回答 “解题意味着什么”时说：“解题----就是意味着把所要解决的问题转化为已经解决过的问题。”因此，我们在解题时，不要“就题论题”，而要运用联系的观点，以此问题为生发点，进行进一步探究、反思。下面我以人教版初三《几何》上第107页的例题为例，引导学生对一类特殊梯形进行探究学习。

题目是：如图 1，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，AD ⊥ CE垂足为D。求证：AC平分DAB。

由于该例题涉及的知识点多，综合性强，所以是学生综合运用所学知识分析和解决问题的典型例题。这道例题又以另一种形式出现在同一本书的第 93页上，说明了教学中更值得教师引导学生进行分析、探讨。

一、一题多解

本题有多种解法，下面举出五种解法：

解法 1：如图1-1，如果连结BC，运用弦切角定理等知识可以得证（即课本第107页例1的解法）；

解法 2：如图1-2，若连结OC，运用切线性质定理，也能够证明（即课本第93页的例2的解法）；

解法 3：除课本上的两种方法外，还可以利用全等三角形证明。如图1-3，连结BC，过切点C作CF ⊥ AB，垂足为F。

AB是 ⊙ O的直径==> ∠ ACB=900

CF ⊥ AB==> ∠ ACF= ∠ CBF ∠ AFC= ∠ ADC

∠ DCA= ∠ CBF==> ∠ ACF= ∠ DCA

AC=AC

=> △ ADC ≌△ AFC==>AC平分 ∠ BAD

解法 4：如图1-4，连结BC,过点A作 ⊙ O的切线PA，交CD于P，利用切线长定理亦可证明：由切线长定理，得PC=PA，则有 ∠ ACD= ∠ CAP，又由PA ⊥ AB，因而 ∠ PAB= ∠ ADE=900，则 ∠ PAB- ∠ CAP= ∠ ADE- ∠ ACD即 ∠ BAC= ∠ DAC ∴ AC平分 ∠ BAD.

解法 5：过C作CF ⊥ AB交 ⊙ O于F，连结AF，由垂径定理可知 ∠ F= ∠ FCA，又根据弦切角定理有 ∠ ACD= ∠ F，于是 ∠ FCA= ∠ ACD， ∴ 900- ∠ FCA=900- ∠ ACD即 ∠ BAC= ∠ DAC. ∴ AC平分 ∠ BAD.

二、条件不变探索结论

在题目条件不变的情况下，除了能证明 “AC平分 ∠ BAD”外，让学生再写出其他的结论。

在图 1-1中， △ ABC和 △ ADC都是直角三角形，易证 △ ABC ∽△ ACD，于是可以求证AC2=AB•AD,=。

在图 1-2中， ∠ BOC=2 ∠ CAD， ∠ ACD+ ∠ BAC=900。

在图 1-3中，求证： △ ACF ≌△ ACD， △ ACD ∽△ ABC，CD2=BF•AF=CF2，AC2=AF•AB。

在图 1-4中，求证 ∠ BCE= ∠ CAD， ∠ APD=2 ∠ B等。

三、添加辅助线探索结论

探索 1如果在图1中过B作BH ⊥ EC于H,还会有哪些结论存在？

图 1-1作此辅助线后成为图2-1，有BC平分 ∠ ABH， △ ACD ∽△ CBH，AD•BH=CD•CH=DH2；图1-2成为图2-2， ∵ OC ⊥ DH,又AO=BO ∴ C是DH的中点，故可以求证CH=CD，OC是直角梯形ADHB的中位线，AD+BH=AB;图1-3成为图2-3， △ BCF ≌△ BCH，CF2=AD•BH,AC平分 ∠ DCF，BC平分 ∠ HCF等。

由上述探究可知， C既是直角梯形ADHB的DH的中点，又是 ∠ ABH与

∠ BAD平分线的交点，而且有BC ⊥ AC于C。于是我们得出以下结论：

结论 1若以直角梯形的斜腰（本文把直角梯形中不垂直于底的腰简称为斜腰）为直径的圆与另一条腰相切，则切点既是其所在腰的中点，又是非直角的内角平分线的交点，还是这两条平分线互相垂直的垂足。

结论 2若以直角梯形的斜腰为直径的圆与另一条腰相切，则其上下底之和等于斜腰；上下底之积等于高的平方的倍，也等于切点到斜腰的距离之平方。

四、拓展与延伸

探索 2如果把结论1与结论2的题设“以斜腰为直径”换成“以垂直于底的腰为直径”，结论还成立吗？引导学生自己出题并给出解答。

例 1如图3，在梯形ADHB中,AD ∥ BH， ∠ ADH=900，以DH为直径的圆与腰AB切于点G。

求证： AC平分 ∠ DAB。

分析：连结 CG，容易证得AC平分 ∠ DAB，除此外，还可以证得AC平分 ∠ DCG,BC平分 ∠ HCG与 ∠ ABH,即C是 ∠ DAB与 ∠ ABH角平分线的交点，C是DH的中点,而且AC ⊥ BC,AD+BH=AB,AD•BH=DH2=CG2,

因此，条件改变后结论 2仍然成立，但此时的切点G不符合结论1，而圆心C却满足：

结论 3：若以直角梯形的垂直于底的腰为直径的圆与另一腰相切，则圆心既是其所在腰的中点，又是非直角的内角平分线的交点，还是这两条平分线互相垂直的垂足。

结论 4：若以直角梯形的一条腰为直径的圆与另一腰相切，则其上下底之和等于斜腰；上下底之积等于高的平方的倍，也等于切点到斜腰的距离之平方。

探索 3结论3的圆心满足的性质，图1的圆心有吗？

如图 4，很明显OA=OB,连结OH、OD, ∵ BH ∥ OC ∥ AD,又OC=1/2AB≠CH, ∴ 不存在 HO ⊥ OD与HO、OD平分两个角。

探索 4结论4的题设与结论能否互换？

例 2如图5，在梯形ABCD中，AB ∥ CD, ∠ A=900,BC=AB+CD,以BC为直径作 ⊙ O。求证： ⊙ O和AD相切。

证明（略）

同样，把例 2的“以BC为直径作圆O”改为“以AD为直径作圆O”，则 ⊙ O与斜腰BC相切。于是结论4的逆命题也成立。

例 3如图6，直角梯形ABCD中， ∠ A= ∠ B=900，E是AB上一点，DE平分 ∠ ADC，CE平分 ∠ BCD，求证：以AB为直径的圆与CD相切。

证明：过 E作EF ⊥ CD于F，

DE平分 ∠ ADC ∠ ADE= ∠ CDE

EA ⊥ AD,AE=EFAE=BE=EF

EF ⊥ CD同理BE=EFEF ⊥ CD

以AB为直径的圆与CD相切。

在例 3中，把“DE平分 ∠ ADC，CE平分 ∠ BCD”换成“EA=EB”，“DE ⊥ CE”，“CD=AD+BC”，或“AD•BC=1/4AB2=EF2”中任一个都可证得结论。

结论 5：在直角梯形中，满足下列条件中任何一个都可推出其他条件，

① 以腰为直径的圆与另一条腰相切； ② 切点（圆心）是其所在腰的中点；

③ 连结切点（圆心）与斜腰两端点所得两条线互相垂直； ④ 连结切点（圆心）与斜腰两端点所得两条线分别平分非直角的内角； ⑤ 上下底之和等于斜腰； ⑥ 上下底之积等于垂直于底的腰的 1/4倍； ⑦ 上下底之积等于交点到斜腰的距离之平方。

探索 5：上述命题对于一般梯形成立吗？

例 4：如图7，在梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，DE ⊥ CE，求证：AD+BC=CD。

这是《初中平面几何配套综合练习》二年级第二学期用第 16页中的范例点击。在同一练习册第19页范例点击中，把上述“DE ⊥ CE”与“AD+BC=CD”互换，这说明结论还是成立。进一步探究，用“E是AB上一点且E是 ∠ ADC与 ∠ BCD平分线的交点”，分别替换例3中“E是AB的中点，DE ⊥ CE”，与“AD+BC=CD”结论同样成立。由于这里研究的是一般梯形，所以命题4中的 ①⑥⑦ 不成立。

结论 6：如图7，在梯形ABCD中，AD//BC，下列条件中，知道任何一个条件可得出另外两个条件： ① E是AB的中点，DE ⊥ CE； ② E是AB的中点，AD+BC=CD； ③ E是AB上一点，且E是 ∠ ADC与 ∠ BCD平分线的交点。

练习 1：如图8，AB为半圆O的直径，在AB的同侧，AC，BD切半圆O于A、B，CD切半圆O于E，请分别写出两个角相等，两条边相等，两个三角形全等，两个三角形相似等正确结论。

练习 2：如图9，AB、CD与半圆O相切于A、D，且AB//CD，BC切圆O于点E，若AB=4，CD=9，求圆O的半径。

练习 3：如图10，点O是正方形ABCD的一边BC的中点，AP与以BC为直径的半圆切于T点，与CD交于P点，求AT：TP的值。

通过以上学习，同学们对这一类特殊的梯形有了一定的了解，尝到了自主学习的甜头，体会了事物间普遍联系的观点 ,提高了学习数学的兴趣,提出问题、分析问题、解决问题等各方面的能力都得以提高。