暗室取物

    1986年2月25日举行的第37届美国中学数学竞赛中有这样一道选择题：
    置于暗室中的一只抽屉内装有100只红色袜子，80只绿色袜子，60只蓝色袜子和40只黑色袜子．一个少年从抽屉中选取袜子，每次取出一只，但无法看到所取袜子的颜色．为了确保取出的袜子中至少包含有10双，最少必须取出几只袜子？（一双袜子是指两只相同颜色的袜子，但每只袜子只能一次用在一双之中）：
    (A)21 (B)23 (C)24 (D)30 (E)50
    这个问题虽然是中学生数学竞赛中的试题，但解决它并不一定用中学的数学方法，实际上，只有小学的数学知识，也能解答．现在就来研究它的解答方法--复杂问题简单化．
    解：我们可以这样来考虑：
    (1)为使取出的袜子中，要能确保含有10双，因此我们需要考虑最不利的情况．
    (2)先把问题简单化
    ①如只需确保取出的袜子中含有一双，则显然需最少取出4+1=5只．因为先取出的4只，为各种颜色的各一只（最不利的情况），再取一只即可确保有一双袜子．
    ②如需确保取出的袜子中含有2双，则由①可知，取出5只，已确保含有一双袜子，因此只需再取出2只，又可以确保含有一双袜子--取出的第一只为①中确保有一双袜子的颜色，从而再取一只袜子，就一定能确保再有一双袜子．
    综上所述，为确保取出2又，最少需取出5+2=7只．
    (3)从②的分析求解中，极易启发归纳出本题的解答：最少需取出5+2×（10－1）=23只，即可保证取出的袜子中，至少包含有10双袜子．
    所以本题应选(B)．
    现在来研究下面一个类似问题．
    在一个袋子里装有若干个大小相同的小球，仅仅颜色有别．其中红色的9个，兰色的13个，黑色的19个，白色的21个．如果蒙上你的眼睛，要你摸出若干个球来，那么你必须摸出多少个，才能保证至少有14个同色的小球？
    解：我们从最不利的情况去着想．
    (1)假若前9个都摸到的是红色小球．因题目要摸出14个同色小球，而红色小球只有9个，所以这9个球对达到要求不起作用．
    (2)假若再继续摸出的13个小球又都是兰色的，而兰色小球只有13个，题目要求摸出14个同色小球，所以这13个兰色小球对要求也不起作用．这样，一共摸出了22个小球．
    (3)再继续摸出的小球则或是黑色的或是白色的，二者必居其一．又从最不利的情况考虑：假如先摸出的26个小球，黑色的13个，白色的13个，最后再摸出1个小球，那么不管是黑色或是白色，都能达到保证有14个同色小球了．
    综上所述，一共要摸出：
    9+13+13×2+1=49(个)
    才能保证至少有14个同色的小球．
    再研究一个类似的有趣的问题：
    有三个带盖的粉笔盒，每个盒里都装有两根粉笔．只知道其中的一个盒里装有两根白色粉笔，一个盒里装有两根红色粉笔，一个盒里装有一根白色和一根红色粉笔．粉笔盒外的标记有"白、红"，"白、白"，"红、红"，但与里面装的粉笔颜色全都不符．要求只能从其中的一个粉笔盒里取出一根来看，用这办法搞清楚每个盒里所装的粉笔的颜色，至少要几次？为什么？
    解：只需要取一次．
    验看标有"白、红"那一盒，若拿出一根是白色的，可判断这盒是"白、白"的(因为标记写错了，不可能是"白、红"的)．于是标有"红、红"的一定是"红、白"，而另一盒为"红、红"．
    若拿出一根是红色的，同样道理也可以依次判断出来．


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