18世纪所提出的猜想中，最著名的当数哥德巴赫猜想．哥德巴赫是普鲁士派往俄国的公使，常和欧拉通信讨论数学问题．1742年6月7日他在给欧拉的信中说，每一个大于2的偶数是两个素数之和，如4=2+2，6=3+3，8=5+3，等等．每一个大于1的奇整数是一个素数或者是三个素数之和．人们于是把这个断言称为"哥德巴赫猜想"．1742年6月30日，欧拉在回信中说他相信这个猜想，但是不能证明．1770年华林把这个猜想公布于世了，但整个18世纪这个猜想的证明没有任何进展．  
    当然，如果我们对每个自然数进行检验，看哥德巴赫猜想是否成立，总是自然也就解决了．总是在于，自然数有无限多个，不管已经验证了多少个，也不能下结论说下一个数是成立的．因此，一位著名数学家说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌．甚至有人把它比作数学王冠上的明珠．
    摘取这颗明珠的数学家前赴后继．在20世纪30年代，苏联数学家证明了每个大奇数都可以表示为三个奇数之和，这个大奇数比10的400万次方还要大，目前已知的最大素数比这小得多．但离结论还差得很远，它也没证明奇数能否表示成三个奇素数之和．因此，数学家采用分步走的办法，先证明一个类似于哥德巴赫猜想的问题，即先证明任何大于4的正整数，都能表示为C个素数之和（C是某个常数）．沿着这条路，数学家们先后证明了：
　　　　C≤800000　(1930年)
　　　　C≤2208　　(1935年)
　　　　C≤71　　　(1936年)
　　　　C≤67　    (1937年)
　　　　C≤20　　　(1950年)
　　1956年中国的尹文霖证明了C≤18．
　　1920年，挪威数学家布朗首先证明了(9+9)，此后这方面的工作不断取得进展．
　　1957年，我国数学家王元证明了(2+3)．1962年，中国数学家潘承洞证明了(1+5)，同年又和王元合作证明了(1+4)．后来又有人证明了(1+ 3)．
　　1966年，中国数学家陈景润证明了(1+2)，并于1973年发表，立即轰动了国际数学界．一位英国数学家称陈景润移动了"群山"．
　　尽管由(1+2)到(1+1)只有一步之隔了，但这一步却有难以想象的艰难．有许多数学家认为，要想证明(1+1)，很可能必须创造新的方法，以往的路都是走不通的．