部分小于整体？
　　
    在一个盒子里，装着黑白两种围棋棋子，哪种颜色的棋子更多一些呢？有人说，数一数不就完了吗？不错，分别数出两种颜色棋子的数目，然后比较数字大小，这是一种办法；还有一种更简单的方法，那就是对应，每一次从盒子里取出一黑一白两种棋子，放到另一个盒子里，一直取下去，最后剩下哪种棋子，就判定这种颜色的棋子多，如果刚好数完，就说明两种颜色的棋子一样多．
　　前面说的都是盒子里的棋子数有限的情形，若盒子里的棋子数是无限的．那么，至少有一种颜色的棋子数是无限的．这样，我们就无法确切数出这样颜色的棋子数，因而前一种方法在这儿行不通．后一种方法适用吗？如果若干次之后，只剩下某种颜色的棋子，说明这种棋子多，并且是无数多个，如果每拿出一个黑的，总能拿出一个白的，并且每拿出一个白的，也能拿出一个黑的，那么就说明棋子数一样多了，并且都是无数多个．
　　整体大于部分，这是一条古老而令人感到无可置疑的真理．哲学是如此，事物内部总是存在千丝万缕的联系，为了精确地分析万物的本质，我们通通先割裂它们．分别对事物的各个部分进行考察，但整体大于部分，它甚至大于各部分之和．从数学上来看，这一条真理真的和它看起来一样吗？17世纪的科学家伽利略发现，从数量上考察，涉及到数目无限时，情形就不一样了．
　　伽利略在《对话》中有这样的注解："平方数的个数不小于所有的总数，所有数的总数也不大于平方数的个数"，表面上看起来，平方数的集合是所有数的集合的一个子集，属于明显的整体与部分的关系，伽利略的注解认为，它们的个数是一样多的，不妨用对应的思想来解释一下：
       …1  2  3  4  5  6  7  8  9 … n …
       …1  4  9  16 25 36 49 64 81… n2 …
　　每一个自然数，总能找到一个平方数与之对应，相反，每一个平方数也一定能找到一个自然数与之对应，那么这两个数的集合是一一对应的，也就是说自然数和平方数的个数是一样多的．
　　像这样的情形还有许多，整数和偶数是一样多的，整数与奇数也是一样多的，只要部分和整体的元素之间能建立一一对应的关系，那么它们含有同样多的元素．
    在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论．它揭示出部分可以和整体之间建立起一一对应关系，这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一．它告诫人们：不要随便把有限的情形下得到的定理应用到无限情形中去．