据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。图上有九个数字。大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。这张图，就是闻名于世的洛书，见图1。洛书中每个小圆圈都代表一个l。所以把它写成现在的形式就是图2。

图 1

           
   
　　图2是由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。后来，人们称它为“幻方”。因为图2是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。

　　 三阶幻方是怎样构造出来的呢？我国宋朝数学家杨辉给出了一种简便的方法：如图3，将1至9九个数字斜着排列，然后把上下两个数字1和9对调，左右两个数字7和3对换，得到图4。再将图4中的上下左右四个数字9，1，3，7分别写进与它相邻的空格中，就得到前述的图2。

 
 
图 3

 图 4
 

　　不仅如此，杨辉对幻方还进行了较系统的研究，他是世界上第一位把幻方当作数学问题来研究的数学家。他构造出多种幻方，其中之一就是图5。它是由十六个数字组成的一种正方排列，其中每行每列、每条对角线上的数字和都是34。

4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4

　　　　　　　　　图 5   　　　　　　　　　　　　　　　　　                             图  6
　　图5是怎样构造出来的呢？数学家杨辉为此给出了一种十分简单的方法，它与三阶幻方的构造有所不同。如图6，先将1至16的十六个数字按顺序排列在四行四列的方格中，然后把两条对角上、关于正方形中心对称的四对数，6和11，1和16，7和10，4和13分别对换，就得到图5。

　　在四阶幻方中，一个颇为著名的幻方是印度太苏神庙石碑上的幻方，如图7，它刻于十一世纪。这个幻方中，不但每行每列每条对角线上的数字和为34，而且有20组某两行两列交叉点上的四个数字，它们的和也都为34，例如9+2+15+8=34。更为奇妙的是把这个幻方边上的行或列移到另一边上去，所得到的正方形排列仍是一个幻方。

9 6 15 4 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

图 7

图 8

　　大约十五世纪，我国的纵横图传到欧洲，引起了人们的普遍兴趣，成千上万的人沉醉于幻方之中。德国画家丢勒（1427—1528）就是其中的一位。他找到了一个四阶幻方，如图8，并把它反映在他的著名版画《忧郁症》中。它也许是欧洲最早的幻方。有趣的是，丢勒在这一幻方中把版画创作的年代1514也放了进去。他可能正是从这两个数出发，通过不断的试验而找出了其余的数字。

　　图9是一个五阶幻方，其中隐藏着一条绝妙的性质：幻方中的每个数字减去中心位置数字12后，得到一个这样的幻方（如图10），它的中心对称或轴对称上的两个数字互为相反数，并且中间位置上的九个数字也构成一个幻方。更值得一提的是，图10中隐含了如何由三阶幻方出发构造五阶幻方，又进而由五阶幻方构造出七阶幻方，等等行之有效的方法，限于篇幅，这里就不作介绍了。

　　除了上面提及的一类方形幻方外，其它类型的幻方也各具风彩，深受人们的喜爱。

图 11

图 12