走入新世纪的美国小学数学的原则和标准述评

在二十世纪八十年代以来，里根总统在任时先后出台了《国家处于危急之中》、《为了二十一世纪的美国教育》等国家报告，就在为了进入二十一世纪的教育而筹划。美国数学教育界则在美国国家数学教师协会（NCTM）的组织和领导下制定了一系列数学教育指导性文件。它们是《行动日程》（1982）、《学校数学的课程和评价标准》（1989）、《数学教学的专业标准》（1991）、《学校数学的评价标准》（1995）等。在此基础上，又出台了《学校数学的原则和标准：讨论稿》（1998）（以下简称《讨论稿》），《讨论稿》制定了六组原则、五个方面的内容标准和五条过程标准。本文结合我国小学数学教育的现状，对其作一评述。

一、 美国小学数学的六组原则评述

1．公平原则

《讨论稿》指出，数学教学计划应该把着眼点放在提升所有学生的数学学习上。在此理念之下，制定了以下三个原则：

（1） 数学教育为公平而努力，为所有学生的卓越发展而努力；

（2） 相信所有学生都能够学习数学，并为实现这个信念而付诸行动；

（3） 对学生要持有高期望，并为他们的（数学学习）提供强有力的支持。

在我国的数学标准中也有相应的理念，《义务教育阶段国家数学课程标准：征求意见稿》（2000）给出国际公认的"大众数学"的三条基本原则：人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这无疑是正确的，但与美国公平原则下的这三条相比，则显得缺乏可操作性。如果说我们的三条体现的是国家权力的话，美国的这三条则体现的是对教师的中肯建议。

2．数学课程原则

《讨论稿》指出，数学教学计划应该通过连贯的和综合的课程强调重要的和有意义的数学。在此理念之下，有如下的一条原则：

选择最重要的数学。

这个理念在我国新课程标准中也有所体现。因为我国传统的数学教学内容过度注重数学知识的系统性，导致数学知识繁难、陈旧，学生为了掌握这种体系，就不得不负出大量时间进行训练，使学生负担加重了，但整体素质却没有提高，适应新时代的能力没有提高。因而在新课程标准中也相应地体现出教学内容的选择性。

3．教学原则

《讨论稿》指出，数学教学计划的实施依赖于胜任的和耐心细致的教师，要靠他们去教会所有的学生理解和应用数学。在此理念之下，有以下四条原则：

（1） 在教学中培养学生的反思和分析的习惯；

（2） 选择有价值的数学学习任务；

（3） 建立学习环境以培养学生的积极态度；

（4） 鼓励学生表达，以支持其数学学习。

这个原则体系从教学培养目标到教学任务的选择再到教师要努力的方式都简明地概括出来了，在表达上显得明快，令人容易领会。我国传统的数学教学论，因其承袭了一般教学论传统中的许多教学原则，哲学味道有余，而操作性则显不足（如科学性与思想性相结合）。这是两种治学方法，如能适当相互渗透，则就更为完美。

4．学习原则

《讨论稿》指出，数学教学的计划应该能够促使学生理解和应用数学。在此理念之下，有以下四条原则：

（1） 建立在已有知识之上，并在新旧知识之间建立联系；

（2） 学习概念并建立有意义的程序；

（3） 培养积极的数学气质（dispositions）；

（4） 加入到数学活动之中。

近年来国内外对如何学习的研究都非常重视，但《讨论稿》创造性地把数学学习的原则纳入课程标准之中，这既是对教师教学工作的一种促进，也便于直接转化到学生的数学学习中。是值得我们借鉴的。

5．评价原则

《讨论稿》指出，数学教学计划应该包括评价以便监控、促进和提升所有学生的数学学习，并促进教师的教学。在此理念之下，有以下五条原则：

（1） 持续地评价；

（2） 建立并促成清楚的学习目的；

（3） 收集关于理解的事实和技能；

（4） 解释事实并作出推断；

（5） 做出决定并付诸行动。

《讨论稿》所关注的评价显然是以学生为主体的评价，是一种注重反思的过程性评价。它清楚地表述了评价的操作方法和评价过程中的各个具体步骤。这一点与我国现代教育思想是相符的。因此也值得我们借鉴。

6．技术原则

《讨论稿》指出，数学教学计划应该用技术去帮助所有的学生理解数学，应该为他们在日益发展的技术社会中应用数学提供准备。在此理念之下，有以下三条原则：

（1） 理解重要的数学，更深入地钻研到数学内容中去；

（2） 为学习数学而用计算器；

（3） 使学生为适应日益增加的技术需要做好准备。

在传统的数学学习观念中，小学生应该尽可能用笔算或口算。认为用计算器会影响学生数学能力的发展。但随着新技术的不断发展，这种传统观念已经受到冲击。人们认识到，计算机时代的到来已经宣告纸与笔时代的衰亡，人们应该果断地接受这种事实。就象在纸与笔的时代人们不再使用树叶泥板、不再使用刀笔在竹简上书写一样，应该适当使用计算器等现代技术手段。我国也是如此，在新课程标准中也吸收了这种观念。

二、美国小学数学的内容标准和过程标准评述

1．内容标准

《讨论稿》中的内容标准确定了学生应该学习的重要的有用的数学知识和技能范畴。这包括了五个方面的内容：

（1） 数和数的运算；

（2） 几何和空间观念；

（3） 计量；

（4） 数据分析，统计和概率；

（5） 模型，函数和代数。

在教学内容安排上，标准分别列举了幼儿园到二年级、三到五年级、六到八年级的具体要求。课程排列是以螺旋式上升的方式进行的。这与我国的小学数学课程安排是一致的。对内容标准上的差异，我们有如下几点评述：第一，从表面上看，中美小学数学内容一样，但美国在具体知识体系上更富思想性，也更有深度。例如在几何体系上，我国小学生所学习和认识的基本上是局限在欧氏几何体系之中的三维空间中的图形和性质；最多在统计知识中增加了一些坐标几何的知识。而美国小学数学课程中的几何却同时贯穿了拓扑几何、欧氏几何、坐标几何和变换几何四种几何体系，学生在小学阶段就能够比较全面地认识和领会到多样化的几何体系。在深度上，有人认为美国数学内容深度不够，其实这种观点是错误的。我们从一个例子就可见一斑：在美国几何课本中，有一个用不同的颜色去涂沫地图的问题。这实际上是在向学生渗透著名的四色定理！而我国教材中如果有一些较有思想性较有深度的内容出现，就会与那些客观上陈旧的知识一起被误认为是应试教育的产物，担心加重学生负担，在教材改革中会非常可惜地被"割去"。第二，在内容排列上，美国教材更多地吸收和借鉴了心理学的最新成果,并将其运用于课程解释和教师培训中。例如小学设计拓扑体系的根据便是皮亚杰对人的早期认识特点的研究成果。而我国学生接触拓扑几何的概念得等到大学数学系高年级。再如在美国对几何课程标准的解释中，强调了一对荷兰数学家夫妇对儿童认识欧氏几何体系的五个阶段（即想象，分析，非正式推理，推理，严格推理五个阶段，前三个阶段出现在小学阶段）的研究成果，在课程说明中详细论述了每阶段的特征和出现的年龄，为教师准确地掌握学生的认识规律提供了理论支持。而在我国课程标准的解释和教师培训中类似情况所见少有。第三，美国教材的表述联系美国社会生活较近。教材在反映现实生活的过程中体现了数学的思想体系。例如，在美国几何课中认识图形时，教材所呈现的有公路、铁路的各种路标，学生在认识、归纳这些路标的过程中，既了解了这些路标的实际意义，也学到了有关图形分类的知识。我国传统的教材中就缺乏这种知识。有一个例子，一个外地来的司机，自己开着车，拿着北京地图在北京三环上转来转去，就是找不到从什么地方下去。这从一个侧面说明我国过去数学课程联系生活的缺失。目前我国课程标准虽然也注意到了这一点，但落实到教材开发上，有待开发的生活资源还有很多。在这方面我们应该向美国学习。

2．过程标准

《讨论稿》中的五个过程标准描述了若干数学过程（mathematical processes），学生应该通过这些过程获得和运用他们的数学知识。这包括：

（1） 问题解决（problem solving）；

（2） 推理和论证(reasoning and proof)；

（3） 交流(communication)；

（4） 联系(connections)；

（5） 表达(representation)。

这五条过程标准为学生学习数学提供了一个基本脉络。实际上是突出强调了隐含在数学概念中的重要的和基本的思维技能。鼓励学生作为一个积极的学习者去亲自"发明"数学知识。事实上，当学生在问题情境中学习和使用数学时，他们便用写用画，用模型、用图表或用什么在表达数学。教师秉持这些数学过程选择学习内容，使学生在学习中认识到：数学不仅局限于事实的记忆，而且是一个激动人心的思想领域和应用领域。在《讨论稿》中，这个过程都被细化到每个年级的学习中，随着学生年龄的增加，这些过程也越来越复杂。这就反映了数学学习过程中的循序渐进的原则，这也是中美两国课程标准在数学过程观念上的共同点。

在实现数学学习时，过程标准和内容标准是不可分割的两个部分。内容是过程的载体，过程又为实现内容而服务。具体教学中把这二者结合起来，就可以创造出丰富多彩的教学方法。在美国小学教学中一般地结合学生的年龄特征，设计出各种各样的游戏，学生在玩和共同活动中实现了掌握数学知识和方法的双重效果。在标准解释和教师培训中，这些活动按内容不同被归纳为：应用型、发现型、发明型、探索型和拓展型；按活动方式的不同被分为：独立活动、全班活动和小组合作学习活动。在活动中体现了小学数学学习中的辩别异同、分类和归纳，顺序和程序，模式的形成，猜想、试误、问题解决策略的产生等特殊过程和技能。在这种活动中把日常生活和数学原理有机地结合起来，把数学与科学、数学与社会研究、数学与艺术、数学与健康、数学与阅读（语言艺术）、数学与体育等不同学科的认识统一起来，拓展了数学认识的途径，使小学数学更具跨学科性。在我国的小学数学课程解释、教材编写和教师培训中，要结合我国课程发展过程中的经验，对美国小学数学课程标准中的这些先进思想进行合理地吸收。

《学科教育》2002年第4期