圆周长、弧长(一)

　　教学目标：

　　1、初步掌握圆周长、弧长公式；

　　2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；

　　3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;

　　4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．

　　教学重点：弧长公式．

　　教学难点：正确理解弧长公式．

　　教学活动设计：

　　（一）复习（圆周长）

　　已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？

C=2πR

　　这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．

　　由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？

　　提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．

　　（二）探究新问题、归纳结论

　　教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．

　　研究步骤：

　　（1）圆周长C=2πR；

　　（2）1°圆心角所对弧长= ；

　　（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；

　　（4）n°圆心角所对弧长= ．

　　归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则

  （弧长公式）

　　（三）理解公式、区分概念

　　教师引导学生理解：

　　（1）在应用弧长公式 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；

　　（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；

　　（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．

　　（四）初步应用

　　例1、已知：如图，圆环的外圆周长C₁=250cm，内圆周长C₂=150cm，求圆环的宽度d (精确到1mm)．

　　 分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？

　　（2）已知周长怎样求半径？

　　（学生独立完成）

　　解：设外圆的半径为R₁，内圆的半径为R₂，则

　　d= ．

　　∵ ， ，

　　∴ （cm）

　　 例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)

　　教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．

　　解：由弧长公式，得

　　 （mm）

　　所要求的展直长度

　　L （mm）

　　答：管道的展直长度为2970mm．

　　课堂练习：P176练习1、4题．

　　（五）总结

　　知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；

　　能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．

　　（六）作业  教材P176练习2、3；P186习题3．

圆周长、弧长(二)

　　教学目标：

　　1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；

　　2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；

　　3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．

　　教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．

　　教学难点：建立数学模型．

　　教学活动设计：

　　（一）灵活运用弧长公式

　　例1、填空：

　　（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；

　　（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；

　　（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．

　　（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）

　　答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．

　　说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．

　　练习：P196练习第1题

　　（二）综合应用题

　　例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．

　　 教师引导学生建立数学模型：

　　分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；

　　（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？

　　（3）AB、CD与⊙O₁、⊙O₂具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O₁与⊙O₂的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）

　　（4）如何求每一部分的长？

　　这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．

　　解：(1)作过切点的半径O₁A、O₁D、O₂B、O₂C，作O₂E⊥O₁A，垂足为E．

　　∵O₁O₂=2.1， ， ，

　　∴ ，

　　∴ （m）

　　∵ ，∴ ，

　　∴的长l₁ （m）．

　　∵，  ∴的长（m）．

　　∴皮带长l=l₁+l₂+2AB=5.62（m）．

　　（2）设大轮每分钟转数为n，则

， （转）

　　答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．

　　说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．

　　巩固练习：P196练习2、3题.

探究活动

钢管捆扎问题

　　已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．

　　请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．

　　提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：

　　当n=2时，L₂=（π+2）d．

　　当n=3时，L₃=（π+3）d．

　　当n=4时，L₄=（π+4）d．

　　当n=5时，L₅=（π+5）d．

　　当n=6时，L₆=（π+6）d．

　　当n=7时，L₇=（π+6）d．

　　当n=8时，L₈=（π+7）d．

　　猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．

　　证明略．