同角三角函数的基本关系式

教学目标：

　　1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．

　　2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．

教学重点：

　　理解并掌握同角三角函数关系式．

教学难点：

　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；

教学用具：

　　直尺、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

　　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

2．探索研究

（1）复习任意角三角函数定义

　　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？

　　在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离是 ，则角 的六个三角函数的值是：

 ；    ；    

 ；    ；    

（2）推导同角三角函数关系式

　　观察 及 ，当 时，有何关系？

　　当 且 时 、 及 有没有商数关系？

　　通过计算发现 与 互为倒数：∵ ．

　　由于 ，

　　这些三角函数中还存在平方关系，请计算 的值．

　　由三角函数定义我们可以看到： ．

　　∴ ，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：

　　①平方关系：

　　②商数关系：

　　③倒数关系：

　　即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．

（3）同角三角函数关系式的应用

　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．

【例1】已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值．

解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．

　　如果 是第二象限角，那么

　　如果 是第三象限角，那么 ，

说明：本题没有具体指出 是第几象限的角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　【例2】已知 ，求 的值．

　　解： ，且 ， 是第二或第三象限角．

　　如果 是第二象限角，那么

　　如果 是第三象限角，那么 ．

　　说明：本题没有具体指出 是第几象限角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　【例3】已知 为非零实数，用 表示 ， ．

　　解：因为 ，所以

　　又因为 ，所以

　　于是     ∴

　　由 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：

　　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．

　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4

　　【例4】化简下列各式：

　　（1） ；（2） ．

　　解：（1）               （2）

3．演练反馈（投影）

（1）已知： ，求 的其他各三角函数值．

（2）已知 ，求 ， ．

（3）化简：

解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角．

　　如果 是第二象限的角，则：

　　又     

　　如果 是第三象限的角，那么

（2）解：∵    ∴ 是第二或第四象限的角

由【例3】的求法可知当 是第二象限时

　　当 是第四象限时

（3）解：原式

4．本课小结

　　（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此 ， ……．

　　（2）诸如 ， ，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．

　　（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

课时作业：

1．已知 ， ，则 等于（      ）

　　A．        B．       C．          D．

2．若 ，则 的值是（      ）

　　A．－2        B．2         C．±2            D．

3．化简

4．化简 ，其中 为第二象限角．

5．已知 ，求 的值．

6．已知 是三角形的内角， ，求 值．

参考答案：1．D； 2．B； 3．1； 4． ； 5．3； 6．

注：4．略解：原式

　　∵ 在第二象限

　　∴

　　∴ ．

6．略解：

　　由 ，平方得， ，

　　∴

　　∵ 是三角形内角

　　∴只有

　　∴ ，

由

　　及 ，联立，得： ， ，

　　∴