任意角的三角函数

教学目标：

　　1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．

　　2．掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）

教学重点：

　　任意角的三角函数的定义．

教学难点：

　　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．

教学用具：

　　直尺、圆规、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

　　角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．

2．探索研究

（1）复习回忆锐角三角函数

　　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

（2）任意角的三角函数定义

　　如图1，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 ．

定义：①比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ．

　　②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ．

图1

　　③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ．

　　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件

提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？

　　利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关，只与角 的大小有关．

　　请同学们观察当 时， 的终边在 轴上，此时终边上任一点 的横坐标 都等于0，所以 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．

　　④比值 叫做 的余切，记作 ，则 ．

　　⑤比值 叫做 的正割，记作 ，则 ．

　　⑥比值 叫做 的余割，记作 ，则 ．

可以看出：当 时， 的终边在 轴上，这时 的纵坐标 都等于0，所以 与 的值不存在，当 时， 的值不存在，除此之外，对于确定的角 ，比值 ， ， 分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．

（3）三角函数是以实数为自变量的函数

　　对于确定的角 ，如图2所示， ， ， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．

　　即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）

（4）三角函数的一种几何表示

　　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．

图3

　　设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边（当 为第一、四象限时）或其反向延长线（当 为第二、三象限时）相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ， 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：

　　这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

（5）例题讲评

　　【例1】已知角 的终边经过 ，求 的六个三角函数值（如图4）．

解：∵    

　　∴

　　提问：若将 改为 ，如何求 的六个三角函数值呢？（分 ， 两种情形讨论）

【例2】求下列各角的六个三角函数值

　　（1） ；（2） ；（3） ．

解：（1）∵当 时， ，

　　∴ ， ，

 不存在， ， 不存在

　　（2）∵当 时， ，

　　∴ ，

 不存在 

 不存在 

　　（3）当 时， ，

　　∴                  

 不存在                  不存在

【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1） ；（2） ．

　　解： ， 的正弦线，余弦线，正切线分别为 ．

【例4】求证：当 为锐角时， ．

　　证明：如右图，作单位圆，当 时作出正弦线 和正切线 ，连

　　∵

　　∴

　　∴

利用三角函数线还可以得出如下结论

 的充要条件是 为第一象限角．

 的充要条件是 为第三象限角．

练习（学生板演，利用投影仪）

　　（1）角 的终边在直线 上，求 的六个三角函数值．

　　（2）角 的终边经过点 ，求 ， ， ， 的值．

　　（3）说明 的理由． ．

解答：

（1）先确定终边位置

　　①如 在第一象限，在其上任取一点 ， ，则

 ，       

　　②如 在第三象限，在终边上任取一点 ，则

  ，        

　　（2）若 ，不妨令 ，则 在第二角限

　　∴                      

　　（3）在 终边上任取一点 ，因为 与 终边相同，故 也为角 终边上一点，所以 成立．

　　说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角 的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．

3．反馈训练

（1）若角 终边上有一点 ，则下列函数值不存在的是（      ）．

　　A． B． C． D．

（2）函数 的定义域是（       ）．

　　A．B．

　　C． D．

（3）若 ， 都有意义，则 ．

（4）若角 的终边过点 ，且 ，则 ．

参考答案：（1）D；（2）B；（3） 或8，说明点 在半径为 的圆上；（4）－6．

4．本课小结

　　利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角 的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．

　　分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．

课时作业：

1．已知角 的终边经过下列各点，求角 的六个三角函数值．

　　（1）      （2）

2．计算

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

3．化简

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

参考答案：

1．（1） ， ，

　　　　　 ， ，

　　　　　 ，

　　（2） ， ，

 ， ，

 ，

2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）

3．（1）0；（2） ；（3） ；（4）