下学期 4.2 弧度制

教学目标：

　　1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．

　　2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．

教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．

教学难点：弧度制定义的理解．

教学用具：投影仪．

教学过程

1．设置情境

　　在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．

2．探索研究

（1）复习角度制

　　我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，的角是如何定义的？

　　规定把周角的作为1度的角．

　　我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

（2）弧度制定义　　　

　　我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，所对的圆心角就是1弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度．

图1

的弧度数的弧度数

　　提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？

　　因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是．

　　在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长，则这个圆心角的弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

　　提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？

　　如图2，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和到点的距离（即圆半径）分别为和，由初中学过的弧长公式可得：，，于是．上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．

　　因，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单．

（3）角度制与弧度制的换算

　　用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2．

　　得等式两边同除180

　　得

　　同理，把弧度换成角度．

【例1】把化成弧度．

解：∵

　　∴

【例2】把化成度．

解：

同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．

下面请大家写出一些特殊角的弧度数．

角度
弧度

按从左至右顺序其答案是：0、、、、、、、、、、．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角就表示是的角，就表示的角的余弦，即．

（4）角度制与弧度制的比较

　　引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．