速算与巧算

1. 近整法

   99+107

2. 分组法

   99+107+203+307+303

3. 基准法

   346+353+339+327+343

4. 定理法：一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大。

5. 规律法

1. 33×34=1122 333×334=111222

2. 111 ×111=12321 11111×11111=123454321 11×1111=12221

3. 25×25=625 35×35=1225 45×45=2025 55×55=3025

4. 111111111=12345679×9

5. 两个接近100、1000…的数相乘的速算

1. 公式法

1. 定义新运算

1. 深入理解运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律）

1. 等差数列及其运用

1. 等差数列的定义

   若前后两项的差为定值，我们把这样的数列称之为等差数列。

2. 公式：a_n=a₁+(n-1)×d

1. 等比数列

4．等比中项性质：等比中项的值等于距该项等距的积的平方根。

五、方程

1. 数阵图

2. 填横式

3. 列方程解应用题的基本步骤

1. 根据题意，设未知数

2. 寻求等量关系，建立方程

3. 解方程，求出答案（注意：要注意检验，一是要满足方程，二是要有实际意义。

4. 作答

1. 不定方程

1. Ax+by=c

2. X+Y+XY=4(含交差项)

3. 若整数系数方程ax+by=c的一组特解是

1. 一元一次方程的解法步骤

1. 有分母的先去分母，在去分母的同时，若分子是多项式，应添括号，与此同时，每一项都有应乘以最小公分母，特别是常数项。

2. 去括号，在去括号的同时，要注意符号。

3. 移项。一般将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。

4. 合并同类项。

5. 化成最简形式：ax=b

6. 讨论：

1. 绝对值方程的解法

2. 一次方程组的解法

六、应用题

1. 行程问题

   行程问题是研究物体运动的，它涉及的主要是速度、距离、时间三者之间的相依关系。行程问题有一个物体运动甚至三个物体运动的情况，但主要是两个物体相向运动和同向运动。两个物体相向和同向运动大致有以下四种情形：

   同时相向而行：相遇时间＝距离÷速度和；

   同时同地相背而行：距离＝速度和×时间；

   同时同向而行：速度慢的在前，快的在后，追及时间＝距离÷速度差；

   同时同地同向而行：速度慢的在后，快的在前，距离＝速度差×时间。

   这类问题，除了速度、距离、时间外，还涉及如下一些重要因素，解题时千万不可忽视。

   运动方向：相向、相背、同向。

   出发地点：同地、不同地。

   运动途径：直线、圆周。

   运动结果：相遇、相距、交叉而过、追及。

   解答这类问题，关键在于考虑相同的单位1与整体之间的关系，相同单位1的数也称“同数”，所以行程问题，又叫同数问题。

2. 工程问题

   工作总量（一般视为单位1）=工作效率×工作时间

3. 浓度问题

   溶液=溶质+溶剂

   一种物质溶解到另一种物质里，形成均一的、相对稳定的混合物，通常叫做溶液。我们把前一种物质叫做溶质，后一种物质叫做溶济。解决浓度问题的关键是根据题意，明白溶质、溶液、与浓度三者之间的关系。

4. 利率问题

7. 几何问题

1. 计数问题

   定理一：对于n×n个顶点，可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）× (n-1)个顶点时所有正方形的个数。例如：

   顶点个数	2×2	3×3	4×4	5×5
   正向正方形个数	1	5	14	30
   斜向正方形个数	0	1	6	20
   正方形总数	1	6	20	50

2. 图形的剪拼

   定理一：剪拼前后，面积不变。

   定理二：将一个大正方形分割成n个大小、形状相同的图形，则分割线必过中心点，而且将其中一个绕中心点旋转360/n的倍数后，必与其它图形重合。

3. 格点与面积

   定理一：如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，那么S=N+L/2-1（正方形格点，且最小正方形面积为1个单位）

   定理二：（同上，关于三角形格点的面积）S=2N+L-2（最小三角形面积为1个单位）

4. 面积

1. 三角形的等积变形

   定理一：等底等高的三角形面积相等。

   定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。

   定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

   定理四：梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。

   定理五：梯形的两条对角形及上、下两底所形成的两个三角形的面积比等于上、下底边长的平方。

   定理六：中线将三角形的面积平方。

   定理七：若两个三角形的两边的积相等，且夹角相等或互补，那么这两个三角形的面积相等。

2. 面积公式：

   正方形面积：S=a²

   长方形面积：S=ab

   平形四边形面积：S=底×高

   三角形面积：S=底×高/2

   等边三角形面积：

   梯形的面积：S=（a+b）X h/2

   
   

3. 度分秒与弧度的互化

4. 图形的变换（轴对称、中心对称图形、求几何最短距离、平移、轴变换、旋转变换）

   轴对称和轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折过来，如果它能够与另一个重合，那么我们说这两个图形叫做关于这条直线对称的轴对称图形。两个图形的对应点（互相重合的点）叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。

   如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连线被对称轴垂直平分。

   两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。

   中心对称和中心对称图形：把一个图形绕着一个点旋转180度后，它和另一个图形重合，那么我们说这两个图形叫做关于这个点对称的中心对称图形，这个点叫对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于这个对称中心的对称点。

   平移变换：一个图形沿着一定的方位移动一定距离的运动叫做图形的平移。平移后的图形与原图形全等，即对应边、对应角都相等。

5. 图形面积的巧算

1. 周长公式：

   

2. 体积公式：

1. 线段、角、角平分线、三角形中位线、梯形中位线、高、中线、相交线、平行线

2. 三角形、等腰三角形、三角形的不等关系、直角三角形、勾股定理、四边形、平行四边形、平行四边形、矩形、正方形、梯形、菱形、筝形。

   三角形中位线性质：中位线平行于底边且等于底边长的一半。

   三角形的不等关系：两边之和大于第三边，两边之差（大减小）小于第三边。

   这条性质也是判断三角形成立的依据。

   等腰三角形性质：两腰相等，底角相等。

   平行四边形性质：对边相等且平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

   梯形性质：两底平行，上、下两邻角互补。

   勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。（在RtΔ中，a²+b²=c²）

   直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么该角所对的直角边等于斜边的一半。

   直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

   角平分线定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

   中垂线定理：中垂线上的点到该线段两个端点的距离相等。

3. 比例的四大性质

1. 圆

9. 排列组合

1. 乘法原理

   一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，….，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有

   N=m₁×m₂×…×m_n

   种不同的方法。

2. 加法原理

   一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有m₁种不同方法，第二类方法中有m₂种不同的方法，…..，第K类方法中有m_k种不同的方法，则完成这件事共有

   N=m₁+m₂+….+m_k种不同的方法。

3. 排列

   一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。

   一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n）的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，我们把它叫做P_n^m.

4. 组合

   一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。

   一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，记作C_n^m.

5. 排列组合

9. 数学游戏

1. 轮流报数，最后致胜策略

2. 数阵图

1. 一般地说，在n×n(n行n列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方。这个和叫做幻和，n叫阶。（九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出）

1. 2 4 2 4 2

7 5 3 7 5 3 3 5 7

1. 6 8 6 8 6

九子排列 上、下对易 左右相更

9. 统筹规划

1. 串行性

2. 并行性

9. 整数问题

1. 约数和倍数：如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

2.如果bc|a,则b|a,c|a.

3.如果b|a且c|a,且(b,c)=1,那么bc|a.

4.数的整除特征：（2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，29）

定理一：能被2或5整除的特征，是它的末位数字能被2（或5）整除。

定理二：能被4(或25)整除的特征，是它的末两位数字能被4（或25）整除。

定理三：能被8(或125)整除的特征，是它的末三位数字能被8(被125)整除。

定理四：能被11整除的特征，是这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字的和的差能被11整除。

定理五：能被7(11或13)整除特征，是奇位千进位的总和与偶位千进位的总和的差（或者反过来）能被7(11或13)整除。

定理六：能被17整除特征，是末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除。

定理七：能被19整除的特征，是末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除。

定理八：能被23（或29）整除的特征，是末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除。

1. 质数（素数）、合数、质因数、分解质因数

   一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

   一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

   注意：1不是质数，也不是合数。

   如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

   把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

2. 约数个数的判断：36=2²×3² 约数的个数=(2+1)×(2+1)

3. 所有约数的和： 36=2²×3² 约数的和=(1+2+4)×(1+3+9)

4. 最大公约数和最小公倍数

1. 熟练运用辗转相除法

2. 定理：两个数最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。（a,b）x[a,b]=axb

3. 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

4. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

9．带余除法

1. 方法一

   例如：一个数除以3余款，除以5余额，除以7余款，求适合这条件的最小的数。

   解：先分别求出被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5整除余1的数（21），能被3和5整除而被7整除余1的数（15）

   70 × 2 + 21 × 3 +15 × 2 –3 ×5 ×7 ×n=233-105n=23

2. 方法二

3. 方法三

8. 同余性质

   定理一：若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡bd(mod m)可乘性

   定理二：若a≡b(mod m),那么aⁿ≡bⁿ(mod m)其中n为自然数

   定理三：若ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么a≡b(mod m)

   定理四：对于模n同余的两个整数a和b，它们的差一定能被n整除。

   定理五：被除数扩大（或缩小）n倍，除数不变，则商和余数也相应扩大（或缩小）相同的倍数。

9. 数的进位制（各种进制的互化、与计算机相关部分的了解、基数、数码）

10. 完全平方数

1. 完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9 。

2. 一个完全平方数的约数的个数必是奇数，反之，一个自然数的约数的个数是奇数，这个数是完全平方数：一个非完全平方数的约数的个数必是偶数。

3. 完全平方数的个位数字为奇数时，它的十位数字必是偶数；完全平方数的个位数字是6 时，它的十位数字一定是奇数。

4. 一个完全平方数的质因数分解因式中，每个质因数的冥指数都有是偶数。

5. 完全平方数被4整除或被4整除余1.

6. 相邻两个整数a 和(a+1)的平方a²与(a+1)²之间，不存在完全平方数。

8. 把一个整数拆成几个自然数的和，使得所有数的积最大的原则：

1. 拆出的数不能有1

2. 拆出的数中以2和3最好

3. 既能拆成若干个2，又能拆成若干个3时，应当拆成3

12．数的分类扩展（数的表示方法及各种不同的进制表示方法、奇偶性）

9. 分数问题

1. 加成分数

2. 单位分数

   1/n=1/x+1/y

   1/n=1/x+1/y+1/z

   4/n=1/x-1/y

3. 循环小数与分数（判断有限小数及小数位数、无限小数、纯循环小数、混循环小数及循环节最少位数和不循环部分位数、循环小数化分数的两种方法）

   循环小数：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。循环小数是无限小数，它的位数是无限的。

   循环小数的小数部分中，依次不断重复的数字，叫做它的一个循环节。如果循环节从小数部分第一位（十分位）开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

   定理一：如果最简分数的分母除2、5质因数外，不含其它质因数，这个分数能化成有限小数。将能化成有限小数的最简分数的分母进行质因数分解，看质因数2和5的冥指数，较大的那个指数的大小就是有限小数的位数。

   定理二：如果最简分数的分母除2、5质因数外，含其它质因数，这个分数不能化成有限小数。

   一个最简分数的分母里，如果只含有2,5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、9999 ……诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数 。

   一个最简分数的分母里，如果除含有2或5质因数外，还含有其它质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数。这个不纯循环部分里的数字的个数，等于2、5中较多的一个数的个数。循环节的最少位数等于9、99、999、9999 ……诸数中能被分母2、5以外的质因数（或质因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。

   循环小数化分数有以下三种方法：（1）纯循环小数化分数，分子是一个循环节的数字所组成的数，分母各位都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。混循环小数化分数，分子是小数点后面第一个数字到第一人循环节末的数字减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位数字都是9，末几位数字都是0,9的个数与循环节中的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同 。（2）采用方程法。

   （3）循环小数化分数，也可以运用无穷递缩等比数列的求和公式。[S=a1/(1-q）

   ]，设有一无穷递缩等比数列：a1,a1q,a1q2,…….(公比|q|<1),各项和为：

   S=a₁+a₁q+a₁q²+a₁q³+a₁q⁴+a₁q⁵+….., (1)

   两边同乘以q得：

   Sq=a₁q+a₁q²+a₁q³+a₁q⁴+a₁q⁵+a₁q⁶……. (2)

   (1)-(2),得

   S（1-q）=a₁

   所以：

4. 巧化分母是7的分数为小数

5. 分数数列的求和

6. 裂项求和

   一般地，可得用下面的等式，巧妙的计算一些分数求和的问题：

7. 繁分数和连分数（掌握运算规则、分数化边分数）

   一个分数的分子部分或分母部分仍含有分数或含有四则运算，这样的数叫做繁分数（或繁分式）。

   繁分数的化简方法：一般先把繁分数的分子和分母部分分别计算出来，再用分子除以分母进行化简。

8. 分数大小的比较（小数法、倒数法、观察法、差1法、通分法、对角相乘法、

9. 抽屉原理：如果把(n+1)个元素放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有不止一个这样的元素。

   1.建立抽屉的基本方法

   同余法构造抽屉

   分割图形构造抽屉

   状态分析构造抽屉

   2.扩展抽屉原理：一个（正）数，分放于几个抽屉里，必有一个抽屉里存放的数大于或等于平均值。（应用于解关于求整数解的不定方程）

10. 时钟问题

1. 时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。分针速度是时针速度的12倍，

分针每走60÷

这里列出一个基本公司，在初始时刻需追赶的格数÷（1-1/12）=追及时间（分钟），其中，1-1/12为分针每分钟比时钟多走的格数。

9. 逻辑推理

10. 容斥原理

11. 递推方法

1. 有序思考

1. 定理一：在十个连续的自然数中，每个数字都出现一次，而在一百个连续的自然数中，每个数字都出现十次。同样的道理，在一百个连续的自然数中，十位上也将出现十个同样的数字。

2. 汉洛塔问题解决策略。

9. 最佳选择

1. 站点的选择

2. 图论（一笔画）