棋盘中的数字

许多同学都喜欢下棋，可是，同学们知道棋盘上还有许多有趣的数学问题吗？ 

　　图1是半张中国象棋的棋盘，请同学们思考几个问题：

问题1 一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后一步跳回起点？

问题2 一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？

问题3 一只马处于C点处，要跳到适当的位置“将军”（敌方老将在D处），不管按什么路线跳，都要跳奇数步，为什么？

　　要回答这几个问题，需要应用一种饶有趣味的方法――染色法。

　　将半张棋盘中的45个格点进行黑白相间染色（如图2）。由于棋盘中共有45个格点，黑点数与白点数不可能相等。而马走“日”，跳一步只能从黑点跳到白点，或从白点跳到黑点。如果马从某点出发跳遍半张棋盘，每一步都不重复，而且回到原出发点，则黑点数与白点数必然相等。但现在知道黑点、白点数目不相等，因此马可能从某点出发，一步不重复地跳回原出发点。

　　由于B点是黑点，A点是白点，两点不同色，马只能从黑点跳到白点，或从白点跳到黑点，从B跳到A必须跳奇数步，6步办不到。

　　第3个问题也很简单，由于C点与D点同色，马从C处跳能够“将军”的地点必与D点异色，也就是与C点异色，由问题2的解答知，不管怎样跳，都要跳奇数步。

　　用染色法还可以解决棋盘的覆盖问题。

问题4 能否用17个形如图3的卡片将图4覆盖？

　　图4共有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我们将图4黑白相间染色，得到图5。细心观察会发现，图5中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住图4。

问题5 图6的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？

　　先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（如图7）。

　　能否将7种图形都用上呢？7个图形共有（4×7＝）28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明这个事实，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（如图8），图中黑白格各有14个。在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个。第（2）种图形只能覆盖3个黑格、1个白格或3个白格、1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格、2个白格。

　　综上所述，要拼成4×7的长方形，最多能用上6种图形。