二   加法与减法中数字和的变化

在数字和的问题上，有许多有趣的、富于思考的问题。

首先，计算两个数相加，数字和会怎样变化，我们分开不进位加和进位加这两种情况进行讨论。先看546＋453与546＋435两题，这两题每题两个加数的各位上的数字的和是5＋4＋6＋4＋5＋3=5＋4＋6＋4＋3＋5=27，而546＋453=999，加的过程没有进位，所得的和999各位上的数字的和9＋9＋9=27；546＋435=981，两个加数的数字和是27，加的过程个位上满10向十位进1，有一次进位，所得的和981各位上的数字和9＋8＋1=18，比没有进位时，和的数字和少9；再计算546＋534，两个加数各位上的数字的和也是27，546＋534=1080，加的过程中，个位和百位分别都满10，各向前一位进1，有两次进位，所得的和1080各位上的数字的和1＋0＋8＋0=9，比没有进位时少了18，即少了2个9。由此我们可以得到这样的规律：计算加法，没有进位时，加得的和的数字和等于加数的数字和；有进位时，每进位一次，加得的和的数字和就减少1个9。

同样，我们也可以归纳出减法中数字和的变化规律：计算减法，没有退位时，减得的差的数字和等于被减数的数字和减去减数的数字和的差；有退位时，每退位一次，减得的差的数字和就增加1个9。

下面，我们用上面的规律来解答几个问题。

例1：有A、B两个整数，A的各位数字的和是35，B的各位数字的和是29，如果A和B相加时有三次进位，那么把A＋B所得的和的各位数字相加，和是多少？

解：如果相加时没有进位，A＋B所得的和的各位数字相加的和，等于A和B两个加数数字和相加的和。35＋29=64，相加时，每进位一次，得数的数字和减少1个9，现有三次进位，得数的数字和减少3个9，所以A＋B所得的和的各位数字相加，和是64－27=37。

答：A＋B的和的数字和是37。

例2：整数A减整数B有两次退位，减得的差的数字和是13，已知A的各位数字的和是8，B的各位数字和是多少？

解：A的各位数字的和是8，A减B的差的数字和却是13，这有可能吗？如果连同退位使差的数字和增加这一因素考虑在内，这个结果是很正常的。A减B有两次退位，使减得的差比不退位时增加2×9=18，也可以

看作是13由被减数A的数字和8增加了18减去B的数字和得到的。所以B的各位数字的和是8＋18－13=13。

答：B的各位数字的和是13。

例3：整数A的各位数字的和是24，整数B的各位数字的和是22，而A＋B的和的各位数字的和是10，在加的过程中有多少次进位？

解：如果A＋B在计算中没有进位，所得的和的各位数字的和是24＋22=46，现在A＋B的和的各位数字的和是10，比不进位时减少了46－10=36，36里面包含9的个数是36÷9=4，所以加的过程中有4次进位。

答：在加的过程中有4次进位。

例4：甲数和乙数的数字和都能被7整除，甲数加乙数，得数的数字和是3，甲数减乙数，差最小是几？

解：甲数和乙数的数字和都能被7整除，相加时如果没有进位，所得的和的数字和也能被7整除，现已知甲数加乙数得数的数字和是3，不能被7整除，因此，甲数加乙数必定有若干次进位，3至少加上2个9，得到3＋2×9=21，能被7整除，而21=7＋14，即甲数和乙数的数字和一个是7，一个是14，并且甲数加乙数有两位进位。当甲数是61，乙数是59时，甲数减乙数的差为61－59=2，这是最小的差。

答：差最小是2。

例5：1~1000这1000个自然数所有数字的和是多少？

解：1~1000这1000个自然数所有数字的和比1~1000这1000个数的和小得多，这是因为把1~1000这1000个数相加时，有多次进位，每进位1次，比不进位时数字和都减少9，把加得的和按数字和计算的进位次数减去9的个数，才得到所有数字的和，但这样计算太繁了。

为了简便地计算这1000个数所有数字的和，可以把这1000个数按以下的方法分组，使每一组相加时都不进位，然后算出每组和的数字和，再求出各组数字和的总和，就是1000个数所有数字的和。

            1    2    3    4    …   499

1000  999  998  997  996  995   …   500

1000  999  999  999  999  999   …   999   ——各组数的和

  1   27   27   27   27   27    …        999   ——各个和的数字和

这样算得1000个数所有数字的和是1＋27×500=13501。

答：所有数字的和是13501。

*例6：两个四位数相加，第一个四位数的每个数字都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数字调换了位置。某同学做出的答案是16246。试问该同学的答数正确吗？如果正确，写出这两个四位数，如果不正确，请说明理由。

解：在对这一题思考时，如果试图按题中的条件找出四位数拼出加法算式，要找出很多的四位数，进行许多的尝试，而且不能进行严密的推理，因此这不是可取的方法。

比较好的做法是，先按规律说明是否可能按题目的条件做出这个答数，有可能时，才拼算式，如果不可能，这个答数就是错的。

由于第一个四位数的每个数字都不小于5，不管把这四个数字怎样调换组成第二个四位数，第二个四位数的每个数字也都不小于5，两个数相加，四个数位上都要进位，共有四次进位，而两个四位数数字的和是第一个四位数数字和的2倍，是偶数，四次进位使和的数字和比原来八个数字的和减少4个9，所得的和的数字和仍然是偶数，而该同学的答数16246的数字的和1＋6＋2＋4＋6=19，是个奇数，所以这个答数是错的。

应用练习    二

1．有A、B两个整数，A的各位上的数字的和是31，B的各位上的数字的和是19，A和B相加，得数的各位上的数字的和是32，相加时有几次进位？

2．A的各位上的数字的和是4，A减去一个两位数，差的各位上的数字的和是24，减数最大是几？

3．甲数和乙数的数字和都是17的倍数，甲数减乙数，差的数字和是10，甲数最小是几？

4．甲数和乙数的和是753，两个数的数字和都是11的倍数，两个数中较大的一个最大是几？

5．1~10000这10000个自然数所有数字的和是多少？

6．一个三位数，它的各位上的数字的和能被8整除，这个三位数加1得到的数各位上的数字的和也能被8整除，在所有满足条件的三位数中，最大的一个是几？

*7． 的差是一个自然数的平方，这个自然数的各位数字的和是几？

*8． 的积的各位数字的和是几？

课后练习    二

1．甲数各位数字之和是28，乙数各位数字之和是18，甲、乙两数相加时有三次进位，那么甲、乙两数之和的各位数字之和是多少？

2．甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10，如果甲数减乙数有两次要从前一位退1再减。那么甲、乙两数之差的各位数字之和是多少？

3．698加一个数，得数各位上的数字的和是8，已知加上的数各位上的数字的和是12，那么加上的这个数最小是几？

4．一个五位数，各位上的数字的和是27，这个数加上5，得数的各位上的数字的和是5，这个数最小是多少，最大是多少？

5．两个自然数的差是41，被减数各位数字的和与减数各位数字的和都能被13整除，被减数最小是几？