【案例背景】

加强估算这是新课程标准中一个较为响亮的要求。在第一学段提出估算的具体目标是：“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。”在第二学段对估算提出的具体目标是：“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”从新的课程标准要求来看，对估算已经作为一种运算技能和能力来要求；从现实来看，估算是一种常用的解决实际问题的方法，在一些含有大数目的情境中，估算甚至比精确计算更有用。可见，教师要教好估算，学生要学好估算，势在必行。在教学中，老师们常常会琢磨，怎样教给学生一套有效的估算方法？在什么情况下，估算比精算更好？怎样教更能让学生领会估算结果是偏大还是偏小？数形结合的思想应孕出现了，数形结合使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，有利于促进学生把握数学问题的本质。体现了数形结合思想就真的好吗？下面笔者就结合《多位数乘一位数的乘法估算》巩固练习中数形结合的应用谈谈自己的体会。

【案例描述】《多位数乘一位数的乘法估算》巩固练习

课件呈现题目：“李老师买作业本，每本7元，买43本，可身边只有280元了，够吗？”老师问：“这个问题你想怎么解决？”学异口同声的说：“估算”。老师要求学生在本子上边估边想到底够不够。学生动笔写出估算过程后得出结论是不够。老师追问：“你们的280不都是估出来的吗？你怎么确定280元不够呢？”学生a回答：“估小了就是280元，实际需要的钱肯定比280多，所以不够。”老师问：“谁听懂他说的了？”学生还没有来得及举手回答，老师便用课件演示出了右图，并一边演示一边讲解。最后老师小结：“你看，虽然咱们估出来的是一个大约的得数，但稍微分析一下，就能够做出一个明确的判断。估算还真有用呢。”……

【案例分析】

从上述案例中可以看出，执教者是想通过巩固练习深化学生估算意识的养成，试图引导学生解释估算过程，对估算结果进行分析判断。练习的过程中，老师有意识的渗透了数形结合思想。但仔细考量便不难发现，案例中至少有两个方面处理欠妥：

1.对问题设计缺乏理性思考，抛出的问题过大。案例中，“这个问题你想怎么解决？”问题过大，学生虽然说出了“估算”这个答案，但完全可能是因为没有学习笔算乘法而做出的被迫回答。估算意识的形成应该是一个循序渐进的积累过程，学生不可能通过一节课或几节课的学习就形成估算意识，在这种情况下，老师的问题宜更直接，以便为学生提供一个支点，比如可以问“解决这个问题你认为估算和精确计算谁更好？为什么？”这样学生能够通过比较估算和精确计算而选择估算解决问题，进而自然生成估算过程的解释和估算结果的判断环节，甚至会碰撞出数形结合的思想火花。

2．过犹不及，数形结合流于形式。“谁听懂他说的了？”学生还没有来得及举手回答，老师便用课件演示数形结合解释过程，留给学生的思维碰撞时间太短。课后调查发现，学生没有真正明白为什么估算结果比实际结果小。显然，案例中教师对估算过程的解释和估算结果的判断环节预设不充分，对知识本质的理解不够理性，而且心态过急，没有为数形结合搭建理性支点。教师只要耐心等待，学生在复述中应该能出现诸如“把43本估成40本，少算了3本，也就是少算了3个7元，共少算了21元，所以估算出的280元比实际要少，带280元不够”的答案，从一定程度讲，这种解释比数形结合更理性。

【案例反思】

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。但基于案例中的问题，笔者认为数形结合也需要搭建理性支点，择机而用。

一、巧妙设问，引数形结合动态生成

建构主义认为学生学习活动的本质是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。要体现这一本质必然少不了巧妙的设问，以激发学生建构的欲望，提供可建构的方法。

上述案例中，教师呈现问题后可跟进问题“解决这个问题你认为估算和精确计算谁更好？为什么？”并进一步为学生提供可操作的方法，提示学生可以用语言表述，也可以用画图的方法来解释，同时为学生提供足够的自主建构时间。这里的设问和可操作方法为数形结合的生成提供了支点，使数形结合的出现有了可能。在反馈交流中既可能出现文字解释，也可能出现“以形助数”的数形结合方法，教师只要引导学生进一步比较优化，便能收获理想的效果。这样，不仅让数形结合水到渠成，而且有助于培养学生数形结合的意识。

二、择机而用，让数形结合顺势而现

数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质，规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰,具体的事物，学生容易掌握和理解。

上述案例中，教师应该给学生更多的思考时间，而不是急于呈现数形结合方法。教师要善于抓住数形结合呈现的契机，在学生无法用算式或语言清晰的解释估算结果时，引导学生用43个小正方体表示43本书，用7个43表示一共需要的钱，进一步呈现对比图（右图）。这里的引导就为数形结合的出现搭建了理性支点，自然的帮助学生形象、直观、生动的释疑难点，领会估算结果比实际结果小的原因。这样的数形结合就是顺难点的释疑而现的。

总之，数形结合百般好，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。但数形结合的方法也要用得恰当，要搭建理性的支点，让数形结合顺势而现，让学生感受到数形结合的价值，进而培养数形结合的意识。

作者简介：张鸿森，男，本科学历，小学数学高级教师，浙江省瑞安市第十一届小学数学教坛新秀，瑞安市小学数学第五批中心组学员，“希望杯”数学邀请赛优秀教练员，多篇论文和案例在国家、省市级评比中获得一二等奖和在期刊上发表。