用数学思想方法解读小学数学教学内容
追求“数学味”，就是追求数学的文化意味，就是熏陶和培养数学的四个基本思想方法（关于数学教育的一个想法）
一、为什么会提出“数学课要有数学味”的问题
2001年至今的课改第一阶段，各科教师都注重了对普遍性新课改理念的领会和贯彻，强调了课堂学习中学生主体性、创造性的发挥，强调了让课堂充满情趣和快乐，强调了师生之间、学生之间的合作学习等等。这是极大的进步但又暴露出极大的不足：学生的积极性、创造性、情绪情感只停留在比较肤浅的层面，而没有与各学科的学习要求紧密结合，于是表面热闹的课堂却“语文课不象语文课”、“数学课不象数学课”。于是为了课改的深化，就提出了“数学课要有数学味”的问题。
二、为什么“数学味就是数学的文化意味”
从理论、中央文件和报刊上，我们经常会看到现代化建
设就是现代政治、经济、文化的建设，这就是说：一个社会大系统，它的基本子系统就是政治、经济与文化这三个。其中的文化子系统内部又包括那些次子系统呢？简单地说，包括文学艺术、新闻舆论、科学（自然科学、社会科学、人文科学、思维科学、技术科学等等）、哲学、宗教、风俗与礼仪等等，――而教育也是其中一个重要的、特殊的次子系统。
教育这个次子系统的重要性与特殊性是什么呢？
特殊性：作为基础教育来说，教育主要不是文化的生产者而主要是文化的传播、传递者，如此才能使每个后代都“有文化”从而承担继续建设与发展政治、经济与文化的重任。既然教育要传播、传递的文化包含各门各类，所以我们看到教育的内容遍布人类文化的每个领域，而其他任一个文化领域都基本上“只扫自己门前雪”。
重要性：来自它的特殊性――没有了教育，其他文化部门生产出来的所有文化都会消散、断根，人类就会退化为只能靠生物遗传本能生存的低等动物。
正因为此，应该得出两个结论：第一，每门学科的基本任务都是传播、传递自己所对应文化门类的东西（当然也包括传播传递各门类文化共同的东西）；第二，要传播传递的东西是你对应的这个文化门类特有的精髓而不是“杂多的全部”。这个“文化精髓”就是“文化意味”，――为什么呢，意味者，“意境”、“趣味”也，按中国美学思想，一幅画、一件艺术品，最精髓的东西就是它的意境与趣味。
所以“数学味就是数学的文化意味”。
三、数学文化精髓、数学味在于它的四个基本思想方法
任何一种文化，其组成都包含物质文化、制度文化、精神文化三种要素而以精神文化要素为核心。比如我们要抓数学学科建设或数学文化建设，当然要抓物质条件的建设，还要抓符合数学教学教研要求的相关制度建设。但千万不要忘记：这些建设都是外围性的，核心的建设任务是让校长、数学教师乃至全体教职工和每个学生在管理、教育和学习中充分具备并发挥数学精神，否则那些物质条件和制度都不过是没价值的摆设。那么数学精神又是什么呢？我们常说学数学的人与别的人不同，他们在想问题和做事时常常喜欢追求数量精确性、过程严谨性、条理简约性以及思考与表达的高度概括性。说得好，这就是一种数学精神。如果把上面这些日常说法提炼成比较精确的语言，我觉得数学精神就是思维与行为的精确量化性、严谨逻辑性、简约递归性和整体结构性。这种数学精神当然不会从娘肚子里带出来，它是在学习和运用数学的过程中熏陶、感染、感知、领悟和实践锻炼出来的；之所以能够如此，是因为本来数学最基本的思想方法就是量化思想方法、逻辑化思想方法、递归化思想方法和结构化思想方法。这里要补充说明两点：
第一，数学基本思想方法究竟有哪些，专家们看法不同。据《数学课标解读》说，有的(比如美国人)主张只提最概括性的几个，有的则提得很多（我看的一些中国学者写的书中就是这样）――把许多解题法比如集合方法、函数方法、换元方法等等都放进去了。看法不同无可厚非，对事物的认识允许各种看法公平竞争、各显其能。但考虑到今天的我们需要尽可能精炼地抓住数学文化的精髓也就是数学教育的核心价值，所以我赞成美国人的看法，只提四个基本思想方法，至于我提的这四个只是一己浅薄之见，仅供大家作进一步学习思考的参考和批判的靶子，不足为训也。
第二，“思想”与“方法”略有不同。狭义地说，方法指思路、策略或技巧，思想则指观念、态度并融蕴着情感；但广义地说，思想包含着方法，方法也隐含着思想。今天的数学教师，容易重视方法却容易忽视思想，所以如果大家想把“基本思想方法”这个词组缩短点，建议选择“数学思想”而不选择“数学方法”。
四、对四个基本思想方法的简要说明
第一，四个基本思想方法分别是什么意思。对此我来做一个简要的解释：
量化思想方法：可以简单地描述为“追求定量、讲究精确的态度与行为方式（这里的“行为”包括思维操作行为）” ，即在思维和行动中追求了解与运用对象及它们之间关系在数量上的精确性。在运用数学研究某一类事物的过程中，首先我们关注这类事物各元素“量”的属性（如几个、几只、几朵、几块等），然后把这些量及它们之间的关系抽象为数及各数之间的大小、多少、顺序等关系，再后我们创设出数与数之间的运算方式（四则运算、乘方开方直至更复杂的运算），再后又创设这些运算应遵守的各种算律（运算顺序、交换率、结合律等），最后我们根据这些算律推论出各种简便运算方法（含简便运算及代数与几何中的各种定理）。
逻辑化思想方法：可以简单地描述为“追求严谨、讲究逻辑的态度与行为方式”，即追求思维与行为过程及知识系统的严谨性。逻辑化思想方法的主要特征是：第一，追求思维过程符合形式逻辑法则（同一律、矛盾律、排中律、充足理由律，概念、判断、演绎推理各法则，归纳法则、类比法则――合情推理必须遵守的法则等等）；第二，追求一个知识体系的公理化结构，即其知识系统应以某些原始定义和公理为逻辑起点，只运用它们并只通过演推理逐步定义出其他所有概念和证明出所有定理。
递归化思想方法：人类出于“思维经济化”即提高思维效率的本能倾向，总是尽力把通过长期积累已经丰富起来但繁多与杂乱的知识集合整理成一个可以递归、还原的系统――每项新知识总可以用旧知识来生成，即把新的递归（还原）为旧的、把复杂的递归（还原）为简单的。递归化思想方法虽然可以看作是逻辑化思想方法的派生与拓展结果，但由于它只在知识系统发展的更后期出现并比一般的“逻辑严谨性”更关注知识系统的整体结构性质，所以我把它定为一种独立的思想方法。递归化思想方法的宗旨是追求知识体系的简约递归性，可以简单地描述为“追求简约、讲究递归的态度与行为方式”。
结构化思想方法：到了二十世纪中期，人们逐渐达成一种共识：数学所研究的主要是各类事物集合中诸元素之间的结构关系，并用数量的和逻辑的语言来描述这种关系结构。这就是现当代数学特别重视的结构化思想，它所追求的是研究结果的整体结构性，简单来描述它可以是“追求整体、讲究结构的态度与行为方式”。很值得对结构化思想方法补充说明两点：首先，数学运用结构化思想方法得出的研究结果（“产品”）便是各种数学模型（它不同于工程中的实物模型、语言中的语词模型、物理模型或化学模型等），运用这些模型可以通过“数学模拟”的方法来解决各种应用性问题，而“数学模拟”在当代科学（包括各门科学）、技术、工程研究中已成为几乎处处要用的方法；其次，要认识到，广义地说，每一个数学概念、原理、法则、公式、图形、图表直至某个数学理论体系都是一种数学模型。第二方面的说明，四个基本思想方法之间的关系。
从数学发展的历史来看，四个基本思想方法的发生与成熟是有先后的。古希腊之前的各种古文明，包括古埃及、巴比伦、古印度和古中国，都以量化思想方法及其实际应用（天文、土地测量、建筑、税收及商品交换等）为主；公元前三百年左右的古希腊才开辟了比较系统的逻辑化思想方法并以它作为数学的主要思想方法（墨子等人对逻辑化思想方法的探索在古中国没形成气候反而湮灭了）；递归化思想方法的系统出现并得到高度重视更在其后；至于结构化思想方法的成型并得到重视还不到一百年的历史。这种先后不断地发展正好表现出数学的逐渐理论化、严谨化及实际应用的日益广泛化。
而从数学在各个古文明独立成为一门学科开始，这四个基本思想方法或多或少就都是存在的，只不过各自的成熟程度和受重视的程度不同而已。特别在今天的世界，只要我们运用数学来思考和解决问题，就离不开这四个思想方法的综合运用。举个简单的例子吧――一年级小学生在商店购物时计算买一支笔和两个练习本一共要多少钱：他首先要运用量化思想方法设法列式计算；而在计算时要遵守从左到右的运算顺序，这顺序化的思维就是一种逻辑化思维；而买完了回家的时候，为了对付查账的妈妈，这个孩子很可能会反过来用加法来验算丢了钱没有，这个过程既是逻辑化的逆向思维又是在把减法递归为加法；最后我们要知道，这个孩子所运用的“总量等于各分量之和”以及求和加法本身，就是三个单价要素之间的一种“和”结构的数学模型――可别小看了这个加法的“和”结构模型，全国著名的小学数学教学专家、北京的马芯兰就认为：全部小学数学的内容都可以归结为一个加法，加法学好了，小学数学就可以学好。
五、小学数学中这四个基本思想方法是怎样分布的
出于检验“数学的核心思想方法是量化、逻辑化、递归化、结构化四个”这一观点是否正确的目的，我对苏教版一至五年级及人教版六年级的全部小学数学新课程实验教材作了一个粗略的分析，结果说明，我的这个看法还是可以用的。
那么小学教材中四个基本思想方法是怎样具体分布的呢？我感到这种分布有如下五个特点。
1、 小学数学的整体内容包含了四个基本思想：
数：非负有理数，负整数（不含其运算），用字母表示的抽象、可变的数（量）。
量：长度，重量，面积，体积，容积，角度，时间，年、月、日，货币单位， 温度。
形：平面，曲面，线段，直线，射线，角，弧，平面直边形（三角形、平行四边形、正方形、长方形、正多边形），圆，扇形，立体形（长方体、正方体、圆柱、圆锥、球）。
方位：前后左右上下（这不是典型的数学内容，它的价值是发展空间观念并为学习几何及坐标方法打基础）。
数量关系：十进制，十二或二十四进制（时间），七进制（周日计算），六十进制（角度），数的分解组合，数量大小比较，倍数和约（因）数，公倍数和公因数，比与比例，几何图形的分解组合，平面图形的平移和旋转（这项内容看不出其必要性），轴对称图形，垂直、平行和相交，三视图，图形密铺。
逻辑推理：数量大小关系及方位关系的传递，运算顺序，四则运算的算律，充分条件的基本判断，比与比例的基本性质，分数与小数的基本性质，简便算法，解应用题（含统计问题、概率问题、组合问题等）的初步分析法与综合法，数列探究，图形变换，图形周长、面积、体积公式推导，几何定义及几何定理证明初步。
数学模型及其应用（后面每个词组说的都是一种数学模型，故不再后缀“模型”两字）：除以上那些数学概念、数量关系的模型之外，还有有理数四则运算法则、概率、统计、测量、比例尺、方程、组合问题、数列问题、各类算术应用题、数量关系式与关系图。
数学工具：算筹，电子计算器。
2、量化思想方法的运用是主流和重点
小学是正规学习数学的起始阶段，就象解剖学发现人类胚胎发育在形态上正好重复了人类的整个进化史一样，小学数学的学习也正好重复了人类对数学的创造与运用史――从量化思想方法起步，并在整个小学阶段，尽管其他思想方法逐次出现并逐次强化，但量化思想方法始终是主流和重点。
为了简便并保持所分析教材都是苏教版，我们来比较一、三、五这三个年级的数学内容：
一年级教材中以体现量化思想方法为主的内容占到总篇幅的3/4左右，三年级教材中这个比例仍在3/4左右，五年级教材中这个比例则明显减少以腾出时间加强逻辑化思想方法的运用，但仍占了略多于1/2的篇幅。
此外我们还看到：应用量化思想方法的范围逐渐扩大乃至遍布到人类生活的几乎所有领域，举凡天文、地理、人文，政治、经济、文化，科技、自己的学习以至日常生活和娱乐活动，小学生都在其中探究量化。
其次，运用的方法与难度也在逐步提高，数域扩大到整个有理数，进入了用字母表示数的代数阶段，接触了各种平面与立体图形乃至物体的三视图，统计方法、概率方法、组合问题、数列问题等都进入了孩子们的视野。
3、逻辑化思想方法逐步获得重视
一年级以熏陶和培养逻辑化思想方法为主的内容比较少，只占总篇幅的1/4左右，三年级这种内容也不太多，仍只占总篇幅的1/4左右，五年级这种内容所占篇幅则显著增加到总篇幅的将近1/2。这种分布办法的原因应该有两方面：其一，与数学发展的历史一样，逻辑化思想方法是在量化思想方法及其运用发展到一定程度之后才逐步开始突出的；其二，据心理学研究发现，中国儿童的逻辑思维是在10岁左右即小学四、五年级左右才基本成型的。
逻辑化思想方法及其运用不但随着年级的升高增加了量，而且逐步提高了难度，它表现在四个方面：
第一，几何内容的难度不断增加。二年级比一年级增加了图形的切补法运用、图形的平移和旋转、三视图、轴对称图形；五年级又比三年级增加了“证明”概念的提出、从平行四边形面积计算法向梯形面积计算法的推导、园面积的极限推导法等。
第二，算术内容中包含的逻辑思维成分逐渐强化（切勿以为算术中没有逻辑思维）。一年级算术中，数量大小关系的可传递性、十进位值制及其他进制、整数的分解与组合、加与减两种运算的可逆性、连加连减及混合运算的依序推进、简单统计中的分类、进位与退位计算的法则等等都包含着强烈的逻辑化思想方法；三年级的要求有所提高，带余除法中的推理、乘除法之间的可逆性、十进制的深入学习、24进制的探究、随机事件可能性分析等；五年级有了更高的要求，开始比较严谨地研究小数与分数知识系统（定义、基本性质、根据基本性质推导出运算法则、检验整数算律在小数与分数条件下的适用性等等，即初步感受“公理化体系”）、用字母表示未知量代入推理的方法、数论知识（倍数、约数等）的逻辑化研讨、统计问题中对统计数据的分析、图表法及综合分析法解题策略的探究等。
第三，各类应用题逐渐复杂化，且在五年级正式提出了应用题“解决策略”的概念。
第四，三年级开始初步接触到概率问题，五年级初步接触到统计分析问题、组合问题和数列问题，而这些问题需要比较复杂的逻辑推理――它们原本只出现在初中甚至高中。
4、递归化思想方法逐渐鲜明
小学三个年级的数学教材内容中递归化思想方法及其运用也是逐渐强化的：一年级体现在记数的“位值制”（高位数上的符号向个位数符号的递归）、数的分解组合（大数递归为小数）、减法之递归为加法、复杂平面图形向简单平面图形的递归等。
三年级增加了除法向乘法的递归及乘法又向加法的递归、多位数运算向一位数运算的递归、多步应用题（复杂应用题）向一步应用题(最简应用题)的递归、非十进制向十进制的递归、几何图形周长面积与体积向线段长度的递归、随机现象向必然现象的递归（随机现象发生的可能性本来是模糊的，一但得出其发生概率，则这概率又是必然的）；还出现了一个重要的递归即“数学整体运用方式的递归”：每当我们用数学去处理一类对象，总会递归到数学的基本思路――首先抽象出它们的数量概念，然后研究怎样定义和计量这些数量之间的关系比如大小比较和各数量之间的和差积商等关系，接着研究处理这些关系必须遵守的逻辑法则（运算法则和算律等），最后研究在处理这些关系时有什么简便快速的方法从而得出各种有用的定理和推论，――我们看到在三年级探究更大的数、小数与分数这些新数的时候，其整体思路在向探究一位数的思路递归。
五年级递归化思想方法的运用比三年级又有加强，并已表现得相当鲜明，如负数向正数的递归、交换律与结合律从整数向小数计算的推广、曲边形向直边形的递归、小数除法向整数除法的递归等等；特别是，对小数的研究正是递归运用了对整数研究的基本思路――先定义小数，再研究大小比较，再研究其四则运算，再研究算律并运用它做简便运算，最后用这些知识与方法解应用题。
5、结构化思想方法在各年级有着丰富的表现
前面说过，数学模型是结构化思想方法在数学中的运用结果或“产品”。因此，为简便起见我们可以用“数学模型”来代表数学结构化思想方法的运用。
于是我们看到，即使在小学数学里，学生们也在接触和学习丰富多样的数学模型，并尝试运用它们来解决实际问题：
一年级内容中数学模型已经很丰富，比如各种数与量的概念、各种形体的概念及其图形、十进制模型、方位模型（为以后的平面与空间直角坐标系模型打基础）、不等式模型、等式模型、加减运算结构模型、统计模型、各种图表模型、解应用题的线段图模型等。
三年级学生又学到了一些新的数学模型，如乘法结构模型、除法结构模型、分数模型、小数模型、24进制模型、更多的几何图形及三视图、可能性的量化结构模型即概率模型等；还要重视一种最整体性的数学模型――在前一部分中我们指出的“运用数学的基本思路”本身就是一种认识世界的思维模型（或曰思维模式）。
五年级学生又学到了许多新的数学模型，如负数、小数、分数、各种面积公式、数轴、几类问题的列举法解决模式、单价与总价关系结构模式、方程、更复杂的统计图表、应用题的分析法解题策略等等。
六、要高度重视四个基本思想方法的数学教育核心价值
数学的内容及其教育价值当然很丰富：它的知识与技能、它的一大堆具体方法及掌握与运用它们的能力，还有它内含的情感态度与价值观。
与西方发达国家不同，我们中国教育从古至今偏重的是两点：一点是知识与技能方面的智育，一点是政治化、伦理化的德育，――而相对忽视了能力（特别是批判和创新的能力）与各学科所含的非政治化、非伦理化的那部分情感态度价值观。
对第一点偏颇，我们早已有了反对与修正它的共识――现在我们强调的是能力特别是批判和创新能力。但能力要怎样去培养呢？除了需要一定的知识技能积累作基础之外，更重要的是学方法和经常运用这些方法。数学的方法极多，不梳理出繁多具体方法的脉络、不抓住纷繁复杂中的根本，学生会深陷那些具体方法、会只把它们当作各种技能甚至“技巧”，反而会迷失数学的根本宗旨、丧失运用数学乃至创新数学的根本能力。因此，从培养学生数学能力的角度出发，我们必须重视了解数学的基本思想方法并让学生也逐步了解它们。
对第二点偏颇，至今尚未引起高度关注，令人担忧。数学教育中要不要、能不能进行政治化、伦理化的德育（比如“五讲四美三热爱”）？要，也能。但数学课毕竟不是思品政治课，数学课中要进行的德育或者说“情感态度价值观”目标的实现，应区别于思品政治教育，其主要任务是传达并让学生感受、感悟、理解并养成数学独特的“情感态度价值观”。如果数学、语文、科学、社会、艺术、体育、外语等各个学科都这样紧抓自己独特的“情感态度价值观”，再加上思品政治课和各类德育活动，德育不就会做得更丰满、更充实、更有效吗？
那么数学独特的情感态度价值观是什么？那就是了解并信任数学基本思想方法认识与改造世界的价值，进而在学习和运用数学基本思想方法的过程中检验这一价值，通过检验的证实和运用的成功激发对数学基本思想方法的热爱之情，长期地、坚持不懈地这样做下去，最终养成“爱数学、爱学数学、爱用数学”的态度。
因此，从纠正中国传统教育上面那第二个偏颇的角度出发，也应该高度重视数学的四个基本思想方法。只有这样，才能真正实现数学教育的核心价值，而不至于像以前的多年那样，灌输了一大堆的数学概念、法则和公式，学生却始终没有学数学、用数学的能力，而且怕数学甚至讨厌数学。
最后，为了让“基本”更“基本”，我觉得可以把数学的四个基本思想方法再概括得简单一点，那就是：精确量化、严谨逻辑、简约递归、整体结构――它们既是知识、又是方法与能力、也是情感态度价值观，总之它们是数学课程三维目标的统一体